Question

derivada de f(x) =√ln x / e^x detalhada
$f(x) = \sqrt{\frac{ln x}{e^x}$

Answer 1

Resposta:

A derivada primeira da função dada é:

$f'(x)=\dfrac{\sqrt{e^x}\cdot(1-x\cdot \ln x)}{2x\cdot e^x\cdot \sqrt{\ln x}}$

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar a regra da cadeia e a derivada de um quociente.

Regra da Cadeia:

$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Regra do Quociente

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$

Dessa forma podemos reescrever a nossa função da seguinte forma:

$f(x)=\sqrt{\dfrac{\ln x}{e^x}}\\\\f(x)=\left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)^{\dfrac{1}{2}}$

Derivando aplicando a regra da cadeia obtemos:

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)^{-\dfrac{1}{2}}\cdot \left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)'$

Derivando a função ln x / eˣ pela regra do produto temos:

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}\\\\\left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot e^x-\ln x\cdot e^x}{(e^x)^2}\\\\\left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)'=\dfrac{1-x\cdot \ln x}{x\cdot e^x}$

Substituindo em f'(x)

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)^{-\dfrac{1}{2}}\cdot \left(\dfrac{\ln x}{e^x}\right)'\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{e^x}}{\sqrt{\ln x}}\cdot \dfrac{1-x\cdot \ln x}{x\cdot e^x}\\\\f'(x)=\dfrac{\sqrt{e^x}\cdot(1-x\cdot \ln x)}{2x\cdot e^x\cdot \sqrt{\ln x}}$