Question

derivada de f(x)= 5x^3/2x^2+3x

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x}$

Para encontrar a derivada dessa função, usaremos a regra do quociente, dada por:

$\sf \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f '.g - f.g'}{g {}^{2} }$

Interpretando a função que possuímos, como duas funções, uma abaixo da outra, temos então que:

$\sf f = 5x {}^{3} \\ \sf g = 2x {}^{2} + 3x$

Substituindo esses dados na regra:

$\sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{(5x {}^{3}) '.2x {}^{2} + 3x - 5x {}^{3} .(2x {}^{2} + 3x)'}{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{3.5 {x}^{3 - 1} .(2x {}^{2} + 3x) - 5x {}^{3} .(2.2 {x}^{2 - 1} + 1.3x {}^{1 - 1} ) }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{15x {}^{2} .(2x {}^{2} + 3x) - 5x {}^{3}.(4x + 3) }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{30x {}^{4} + 45x {}^{3} - 20 {x}^{4} - 15x {}^{3} }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{ 10x {}^{4} + 30 {x}^{3} }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} }$

Espero ter ajudado