Question

Derivada de f(x)= (2/5)^x ???

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Seja a função $f(x)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^x$, devemos calcular $f'(x)$.

Primeiro, calculamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade

$\ln(f(x))=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)^x\right$

Aplicamos a propriedade de logaritmos: $\ln(a^x)=x\cdot \ln(a),~a>0$

$\ln(f(x))=x\cdot\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Calculamos a derivada de ambos os lados da igualdade

$\dfrac{d}{dx}(\ln(f(x)))=\dfrac{d}{dx}\left[x\cdot\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\right]$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: sejam $f,~g$ contínuas e deriváveis em um intervalo aberto $I$, a função $h=f\circ g$ é contínua e derivável neste intervalo e $h'(x)=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x))=\alpha\cdot f'(x)+\beta\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência $x^n$ é calculada pela regra da potência:$\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função logaritmo natural é: $\dfrac{d}{dx}(\ln(x))=\dfrac{1}{x}$.

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

$\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot \dfrac{1}{f(x)}=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\cdot\dfrac{d}{dx}(x)$

Aplique a regra da potência e calcule a derivada da função

$f'(x)\cdot \dfrac{1}{f(x)}=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\ f'(x)\cdot \dfrac{1}{f(x)}=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Multiplique ambos os lados da igualdade pela função $f(x)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^x$

$\boxed{f'(x)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^x\cdot\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)}~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.