Question

derivada de f(x) 1- raiz quadrada de x ÷ 1+ raiz quadrada de x​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Devemos calcular a derivada da função $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$.

Diferencie ambos os lados da igualdade

$(f(x))'=\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2},~h(x)\neq0$.
• A derivada de uma soma de funções é igual uma soma das derivadas das funções: $(g(x)\pm h(x))'=g'(x)\pm h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• O radical $\sqrt{x}$ pode ser escrito em forma de potência fracionária: $x^{\frac{1}{2}}$.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(1-\sqrt{x})'\cdot(1+\sqrt{x})-(1-\sqrt{x})\cdot(1+\sqrt{x})'}{(1+\sqrt{x})^2}$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=\dfrac{[(1)'-(\sqrt{x})']\cdot(1+\sqrt{x})-(1-\sqrt{x})\cdot[(1)'+(\sqrt{x})']}{(1+\sqrt{x})^2}$

Aplique a regra da constante e da potência

$f'(x)=\dfrac{\left[0-\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}\right]\cdot(1+\sqrt{x})-(1-\sqrt{x})\cdot\left[0+\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}\right]}{(1+\sqrt{x})^2}$

Some os valores nos expoentes e reescreva novamente as potências como radicais

$f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot(1+\sqrt{x})-(1-\sqrt{x})\cdot\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2}}{(1+\sqrt{x})^2}$

Some os termos semelhantes e calcule a fração de frações

$f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{x}\cdot(1+\sqrt{x})^2}~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.