Question

derivada das funções utilizando limites
h(z)=1/3z³+5

Answer 1

Temos a seguinte função:

$h(z) = \frac{1}{3z {}^{3} + 5}$

A questão quer saber qual a derivada dessa função através da definição, dada por:

$f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(\Delta z + z) - f(z)}{\Delta z}$

Para começarmos a derivar, temos que primeiro encontrar a correspondente de f(∆z + z), ou seja, vamos usar a função dada e no local de "z" devemos substituir por ∆z + z, já que o que se encontra dentro do parêntese é o valor de "z":

$f(\Delta z + z) = \frac{1}{3.( \Delta z + z) {}^{3} + 5 } \\ \\ f( \Delta z + z) = \frac{1}{3.( \Delta z {}^{3} + 3\Delta z {}^{2}.z +3 z {}^{2}.\Delta z + z {}^{3}) + 5 } \\ \\ f(\Delta z + z) = \frac{1}{3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5}$

Substituindo esse resultado dentro da expressão da definição de derivada e a própria função, temos que:

$f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{\frac{1}{3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5} - \frac{1}{3z {}^{3} + 5 } }{\Delta z}$

Tendo feito essa substituição, agora devemos ir fazendo algumas operações:

$f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{ \frac{3z {}^{3} + 5 - ( 3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5) }{ (3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5).(3z {}^{3} + 5)} }{\Delta z} \\ \\ f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{ \frac{3z {}^{3} + 5 - 3 \Delta z {}^{3} - 9\Delta z {}^{2}.z - 9z {}^{2} . \Delta z - 3z {}^{3} - 5}{ (3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5).(3z {}^{3} + 5)}}{\Delta z}$

Observe que podemos cancelar o temos 3z³ + 5 com o termo - 3z³ - 5, fazendo isso teremos como resultado:

$f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{ \frac{- 3 \Delta z {}^{3} - 9\Delta z {}^{2}.z - 9z {}^{2} . \Delta z }{3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5.(3z {}^{3} + 5)}}{\Delta z} \\ \\ f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{ \frac{ 3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} .\Delta z}{ 3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5.(3z {}^{3} + 5)} }{\Delta z}$

Vamos colocar o ∆z em evidência na função do numerador e também realizar uma divisão de frações, ou seja, repetir a primeira fração e dividir pelo inverso da segunda, fazendo isso temos que:

$f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{ \cancel{\Delta z}.( -3 \Delta z {}^{2} - 9\Delta z {}^{}.z -9z {}^{2} ) }{3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5.(3z {}^{3} + 5)} . \frac{1}{ \cancel{\Delta z} } \\ \\ f'(z) =\lim_{\Delta z\to 0} \frac{ - 3 \Delta z {}^{2} - 9\Delta z.z - 9z {}^{2} }{3 \Delta z {}^{3} + 9\Delta z {}^{2}.z + 9z {}^{2} . \Delta z + 3z {}^{3} + 5.(3z {}^{3} + 5)}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$f'(z) = \frac{ - 3. 0{}^{2} - 0.z - 9z {}^{2} }{3.0 {}^{3} + 9.0 {}^{2}.z + 9z {}^{2} .0 + 3z {}^{3} + 5.(3z {}^{3} + 5)} \\ \\ f'(z) = - \frac{9z {}^{2} }{0 + 0 + 0 + (3z {}^{3} + 5).(3z {}^{3} + 5) } \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\boxed{f'(z) = - \frac{9z {}^{2} }{(3z {}^{3} + 5) {}^{2} } }}}}}$

Espero ter ajudado