Question

derivada da tgx por limite

Answer 1

Calcular a derivada da função

$f(x)=\mathrm{tg\,}x$

utilizando a definição de derivada (que envolve limite).


Se uma função $f(x)$ é derivável em certo intervalo de seu domínio, a derivada de $f$ em relação a $x$ neste intervalo é dada por

$f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$


Utilizando a definição, com $f(x)=\mathrm{tg\,}x,$ temos

$f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\mathrm{tg\,}(x+h)-\mathrm{tg\,}x}{h}\\ \\ \\ f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\left[\left[\mathrm{tg\,}(x+h)-\mathrm{tg\,}x \right ] \cdot \dfrac{1}{h}\right ]\\ \\ \\ f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\left[\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}(x+h)}{\cos \,(x+h)}-\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x} \right ) \cdot \dfrac{1}{h}\right ]\\ \\ \\ f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\left[\dfrac{\mathrm{sen\,}(x+h)\cdot \cos x-\mathrm{sen\,}x\cdot \cos\,(x+h)}{\cos \,(x+h)\cdot \cos x} \cdot \dfrac{1}{h}\right ]\\ \\ \\ f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\left[\dfrac{\mathrm{sen\,}(x+h)\cdot \cos x-\mathrm{sen\,}x\cdot \cos\,(x+h)}{h} \cdot \dfrac{1}{\cos \,(x+h)\cdot \cos x}\right ]$


Utilizando a identidade trigonométrica do seno da diferença de dois arcos

$\mathrm{sen\,}\alpha\cdot \cos \beta-\mathrm{sen\,}\beta\cdot \cos \alpha=\mathrm{sen\,}(\alpha-\beta)$

fazendo

$\alpha=x+h\;\;\text{ e }\;\;\beta=x$

temos

$\mathrm{sen\,}(x+h)\cdot \cos x-\mathrm{sen\,}x\cdot \cos \,(x+h)=\mathrm{sen\,}[(\diagup\!\!\!\! x+h)-\diagup\!\!\!\! x]\\ \\ \mathrm{sen\,}(x+h)\cdot \cos x-\mathrm{sen\,}x\cdot \cos \,(x+h)=\mathrm{sen\,}h$


Logo, substituindo na expressão da derivada, temos

$f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\left[\dfrac{\mathrm{sen\,}(x+h)\cdot \cos x-\mathrm{sen\,}x\cdot \cos\,(x+h)}{h} \cdot \dfrac{1}{\cos \,(x+h)\cdot \cos x}\right ]\\ \\ \\ f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\left[\dfrac{\mathrm{sen\,}h}{h} \cdot \dfrac{1}{\cos \,(x+h)\cdot \cos x}\right ]\\ \\ \\ f'(x)=\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\mathrm{sen\,}h}{h}\cdot \underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{1}{\cos \,(x+h)\cdot \cos x}$


Um dos fatores do lado direito da igualdade é o limite trigonométrico fundamental:

$\underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\mathrm{sen\,}h}{h}=1$


Portanto,

$f'(x)=1\cdot \underset{h \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{1}{\cos \,(x+h)\cdot \cos x}\\ \\ \\ f'(x)=1\cdot \dfrac{1}{\cos \,(x+0)\cdot \cos x}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{1}{\cos x \cdot \cos x}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\cos x}\\ \\ \\ f'(x)=\sec x \cdot \sec x\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} f'(x)=\sec^{2}x \end{array}}$