Question

derivada da função: f(x)= x·㏑(x)-x
passo a passo por gentileza:
quem puder colaborar.

Answer 1

Resposta:

$f'(x)=\ln(x)$

Explicação passo-a-passo:

Vamos relembrar 2 coisas:

1)Derivada do Produto:

Se temos 2 funções f(x), g(x):

$(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)$

2)Derivada da Soma:

Se temos 2 funções f(x), g(x):

$(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)$

3)Derivada do logaritmo natural:

Quando temos $f(x)=\ln(x)$

$f'(x)=\dfrac{1}{x}$

Agora vamos ao problema:

$f(x)=x*ln(x)-x$

Usamos primeiro a derivada da soma:

$f'(x)=(x*ln(x))'-(x)'\\f'(x)=(x*ln(x))'-1$

Agora aplicando a derivada do produto:

$f'(x)=(x)'*\ln(x) +x*(\ln(x))'-1\\f'(x)=\ln(x)+x*\frac{1}{x}-1\\f'(x)=\ln(x)+1-1\\f'(x)=\ln(x)$

Answer 2

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Devemos calcular a derivada da função: $f(x)=x\cdot \ln(x)-x$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$(f(x))'=(x\cdot \ln(x)-x)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$.
• A derivada do produto entre duas funções é calculada pela regra do produto: $(g(x)\cdot h(x))'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função logarítmica é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x\cdot \ln(x))'-(x)'$

Aplique a regra do produto

$f'(x)=(x)'\cdot \ln(x)+x\cdot (\ln(x))'-(x)'$

Aplique a regra da potência e calcule a derivada da função logarítmica

$f'(x)=1\cdot x^{1-1}\cdot \ln(x)+x\cdot \dfrac{1}{x}-1\cdot x^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$f'(x)=\ln(x)+1-1\\\\\\ f'(x)=\ln(x)~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.