Question

Derivada da função 1/X^3, ultilizando a definição de derivada, ou seja, sem regras de derivação. Please, bitte, por favor, por favor, prego, obsecro, من فضلك, ju letum, per favor, qing, s'il vous plait.

Answer 1

Para achar a derivada da função desejada, basta utilizar a definição formal de derivadas e calcular o limite da função quando Ax (delta x) tender a 0:

lim Ax -> 0 f(Ax+x) - f(x) / Ax

Basta substituir no lugar do x exatamente Ax+x, assim calcularemos f(Ax+x):

f(Ax+x) = 1/(Ax+x)^3

f(Ax+x) = 1/(Ax^3 + 3Ax^2.x + 3.Ax.x^2 + x^3)

O limite ficará:

lim Ax -> 0 1/Ax^3+3Ax^2.x+3.Ax.x^2+x^3 + 1/x^3 / Ax

O MMC da expansão de (Ax+x)^3 e x^3 será a multiplicação dos dois.

Ao resolver a subtração de frações, teremos:

-Ax^3 -3Ax^2.x-3.Ax.x^2/Ax

Fatorando o Ax (termo em comum) no numerador:

lim Ax -> 0 -Ax.(Ax^2+3.Ax.x+3.x^2)/Ax

lim Ax -> 0 -1.(Ax^2+3.Ax.x+3.x^2)

Resolvendo o limite:

-1.(0^2 + 3.0.x + 3x^2) =

-3x^2

Dessa forma, a derivada da função 1/x^3 é (-3x^2)