Question

Derivada................

Answer 1

y = ln(x²)/ cos(2x) 

Temos a regra de derivação do quociente definida por:
y' = f(x)'g(x) - f(x)g(x)'/h²(x)

f(x) = ln(x²) ⇒ f(x)' = 2x/x² = 2/x
g(x) = cos(2x) ⇒ g(x)' = -2 sen(2x)
h(x) = cos(2x) ⇒ h²(x) = cos²(x)

y' =  (2/x)· cos(2x) - ln(x²)·(-2 sen(2x))/cos²(2x)
y' = 2·cos(2x)/x + 2·ln(x²)·sen(2x)/cos²(2x)
y' = ((2·cos(2x) + 2x·ln(x²)·sen(2x))/x)/cos²(2x)
y' = 2·cos(2x) + 2x·ln(x²)·sen(2x)/x·cos²(2x)
y' = 2·cos(2x)/x·cos²(2x) + 2x·ln(x²)·sen(2x)/x·cos²(2x)
y' = 2/x·cos(2x) + 2·ln(x²)·sen(2x)/cos²(2x)
y' = 2·sec(2x)/x + 2·ln(x²)·tan(2x)/cos(2x)
y' = 2·sec(2x)/x + 2·ln(x²)·tag(2x)·sec(2x) 

Sabendo que 1/cos(2x) = sec(2x) e assim 2/cos(2x) = 2·1/cos(2x) = 2·sec(2x)
Sabendo que sen(2x)/cos(2x) = tan(2x)

Resposta: y' = 2·sec(2x)/x + 2·ln(x²)·tag(2x)·sec(2x)