Question

DERIVAÇÃO:
A figura mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita do eixo y e uma sombra originada pela região elíptica x² + 4y² ≤ 5. Se o ponto (-5,0) estiver na borda da sombra, qual a altura da lâmpada acima do eixo x?

Answer 1

Boa tarde.

Note que a reta tangente à elipse passa por (-5, 0) e por um ponto (a, b) da elipse.

Assim, o coeficiente angular dessa reta é:

m = ∆y / ∆x

m = (b - 0) / (a + 5)

m = b / (a + 5)


Por outro lado, podemos dizer que a derivada y' da elipse define o coeficiente angular da reta tangente em um ponto qualquer. Logo, vamos derivar implicitamente com respeito a x:

x² + 4y² = 5

2x + 8yy' = 0

y' = m = -x / (4y)

Porém, (a, b) é o ponto de tangência, logo, é verdade que:

m = -a / (4b)

Se compararmos:

-a / (4b) = b / (a + 5)

-a² - 5a = 4b²


a² + 4b² = -5a (i)


Porém, como (a, b) pertence à elipse, deverá satisfazer a equação:

x² + 4y² = 5


a² + 4b² = 5 (ii)


Comparando (i) e (ii) vem:

-5a = 5

a = -1

Em (ii)

1 + 4b² = 5

b² = 1

Por b ser positivo:

b = 1


Então a reta tangente terá coeficiente angular:

m = 1 / 4

A reta terá equação:

y - b = m(x - a)

y - 1 = (x + 1)/4

y = (x + 5) / 4


O poste está em uma abscissa x = 3 e a altura será o valor de y dessa reta nessa condição:


y = (3 + 5) / 4

y = 8 / 4


y = 2


A altura da lâmpada é de 2 unidades.


Se tiver dúvida, comente :)