Question

Deriva de um função

Answer 1

a) A derivada de uma função num ponto

$\mathtt{x_{0}}$ é o limite

$\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

b) ele quer a taxa média de variação no ponto (0,2)

Ela é calculada assim

$\mathtt{\dfrac{\Delta~y}{\Delta~x}=\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$\mathtt{ \dfrac{\Delta~y}{\Delta~x} = \dfrac{{x}^{2}+4x+3-({x_{0}}^{2}+4x_{0}+3)}{x-x_{0}}}$

$\mathtt{\dfrac{\Delta~y}{\Delta~x}=\dfrac{{x}^{2}+4x+3-{x_{0}}^{2}-4x_{0}-3}{x - {x_{0}}}}$

$\mathtt{\dfrac{\Delta~y}{\Delta~x}=\dfrac{{x}^{2}-{x_{0}}^{2}+4x-4x_{0}}{x-x_{0}}}$

$\mathtt{\dfrac{\Delta~y}{\Delta~x}=\dfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})+4(x-x_{0})}{x-x_{0}}}$

$\mathtt{\dfrac{[x-x_{0}](x+x_{0}+4)}{x-x_{0}}}$

cancelando os fatores temos

$\mathtt{\dfrac{\Delta~y}{\Delta~x}=x+x_{0}+4}$

Vamos substituir e calcular

$\mathtt{\dfrac{\Delta~y}{\Delta~x}=0+2+4=6}$

b)

$f(2)={2}^{2}+4.2+3=4+8+3=15$

$\displaystyle\mathtt{f'(2) = \lim_{x \to 2}\dfrac{ {x}^{2} + 4x + 3 - 15}{x-2}}$

$\displaystyle\mathtt{f'(2) = \lim_{x \to 2}\dfrac{ {x}^{2} + 4x - 12}{x-2}}$

$\displaystyle\mathtt{f'(2) = \lim_{x \to 2}\dfrac{(x + 6)(x - 2)}{x-2}}$

$\displaystyle\mathtt{f'(2) = \lim_{x \to 2}x + 2 = 2 + 2 = 4}$

c) Para a equação reduzida da reta tangente precisamos de um ponto e da sua derivada aplicada na abcissa desse mesmo ponto.

No caso o ponto é P(2,15) e a derivada aplicada no ponto a qual chamamos de coeficiente angular da reta tangente.

$f'(2)=4$.

A equação da reta tangente é dada por

$\mathtt{y=y_{0}+f'(x_{0})(x-x_{0})}$

$\mathtt{y=15+4(x-2)}$

$\mathtt{y=15+4x-8}$

$\mathtt{y=4x+7}$