Question

Deriva a Questao da Imagem pra min

Answer 1

Regra da derivada do produto de duas funções:

Sendo $g$ e $h$ funções deriváveis em um mesmo domínio $D,$ então a função $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ também é derivável em $D,$ e sua derivada é

$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$

__________________________________

$f(x)=\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)\left(x-\dfrac{1}{x} \right )\\\\\\ f(x)=\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)(x-x^{-1})\\\\\\ f(x)=g(x)\cdot h(x)$

sendo $g(x)=\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)~~\text{ e }~~h(x)=x-x^{-1}.$


Derivando $f$ pela Regra do Produto, temos

$f'(x)=\left[\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1) \right ]'\cdot (x-x^{-1})+\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)\cdot (x-x^{-1})'\\\\\\ =\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)'\cdot (x-x^{-1})+\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)\cdot (x-x^{-1})'\\\\\\ =\dfrac{1}{3}\,(5x^{4}-6x^{2}+0)\cdot (x-x^{-1})+\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)\cdot (1+x^{-2})\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} f'(x)=\dfrac{1}{3}\,(5x^{4}-6x^{2})\cdot \left(x-\dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{1}{3}\,(x^{5}-2x^{3}+1)\cdot \left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) \end{array}}$