Question

Denys desenhou uma circunferencia e nela marcou 9 pontos distintos, depois começou a desenhar triangulos convexos. Nessas condições quantos triangulos convexos ficam determinados por esses pontos ?

Answer 1

Este é um problema de combinatória que pode ser reescrito da seguinte forma: quantas combinações de 9 elementos tomados 3 a 3 podemos fazer?
São combinações e não arranjos, porque a ordem dos pontos escolhidos para traçar os triângulos é indiferente, ou seja, se escolhemos os pontos 1, 2 e 3, nesta ordem, ou os pontos 3, 1, 2, nesta ordem, o triângulo traçado é o mesmo.
Assim temos:

$C_{9,3}=\binom93=\frac{9!}{6!3!}=\frac{9.8.7.6!}{6!.3.2.1}=3\cdot4\cdot7=\boxed{84\ tri\^angulos}$