Dentro da lógica proposicional, temos as proposições, que são afirmações lógicas que cabem valores de V ou F e os conectivos, que fazem a conexão entre uma ou mais proposição tornando-as proposições compostas. Mas nem todas as frases podem ser escritas com os conectivos:
¬, ∧, ∨, →, ↔, . . .
E, portanto, necessitamos dos quantificadores. De maneira análoga ao que acontece com enunciados formados por meio de conectivos, na prática, dependendo de como entendemos o significado de um enunciado quantificado, ele pode ser simbolizado de mais de uma maneira.
Seja a frase:
"Nem todos são felizes"
Pode ser interpretado como:
existem infelizes
Se admitimos que:
ser infeliz, é a negação de ser feliz. Neste caso, de acordo com a legenda:
f(x) : x é feliz.
O quantificador que melhor representa a função proposicional acima é:
Alternativas
Alternativa 1:
¬∀x[f(x)]
Alternativa 2:
∀x[f(x)]
Alternativa 3:
∀x[¬f(x)]
Alternativa 4:
∃x[f(x)]
Alternativa 5:
¬∃x[f(x)]
Soluções para a tarefa
Resposta: Alternativa 5
Explicação:
O quantificador que melhor representa a função proposicional é ¬∀x[f(x)], Alternativa 1.
Quantificadores
Na lógica proposicional existem quantificadores que respresentam algumas coisas a mais do que apenas os conectivos. Esse quantificadores, como próprio nome diz representam quantidades e são os seguintes:
- Quantificador Universal (∀): representa "para todos", por tanto, quando esse quantificador é usado em uma expressão quer dizer que toda aquela expressão.
- Quantificador Existencial (∃): representa "existe", ou seja, quando é usado diz que existe algo naquela expressão.
A negação de cada um deles, fica da seguinte forma:
- Negação do quantificador universal: quando estamos negando um quantificador universal, estamos dizendo que existe uma determinada situação no qual aquela expressão não é verdadeira, sendo assim, dada a expressão ∀x[f(x)], a negação dela, ou seja (¬∀x[f(x)]) é um quantificador existencial no formato: ∃x[¬f(x)].
- Negação do quantificador existencial: quando estamos negando um quantificador existencial, estamos que não existe um resultado no qual aquela expressão seja verdadeira, ou seja, estamos dizendo que para todos os resultados daquela expressão ela será falsa, por tanto, seja a expressão ∃x[f(x)], a negação dela ¬∃x[f(x)] é ∀x[¬f(x)].
Sendo assim, dado a expressão f(x): x é feliz, considerando que a negação de x, ou seja ¬f(x) é ser infeliz, podemos dizer a afirmação "Existem infelizes" pode ser escrita por:
- ∃x[¬f(x)], essa expressão significa existe um elemento x que não é feliz (é infeliz).
Como vimos na equivalência de quantificadores acima, ∃x[¬f(x)] é equivalente a ¬∀x[f(x)], por tanto, a opção que apresenta uma dessa duas expressões é a Alternativa 1.
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