Question

dentre um grupo de 12 atletas seis serão selecionados para compor uma equipe olímpica. Nesse grupo há dois atletas que concorrem numa mesma modalidade, de modo que a escolhe de um deles implica de não escolher o outro, havendo ainda a possibilidade de nenhum dos dois serem escolhidos. O número de maneiras de escolher seis atletas desse grupo para participar das próximas olimpíadas é
A) 210
B) 252
C) 452
D) 714
E) 924

Answer 1

Utilizando analise combinatória, temos 714 formas de selecionarmos atletas sem ter os dois juntos.

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente fazer a escolha total de 6 atletas dentre 12, sem restrições, esta seria uma combinação de 6 em 12:

$C_{n,p}=\frac{p!}{n!(p-n)!}$

$C_{6,12}=\frac{12!}{6!6!}$

$C_{6,12}=\frac{12.11.10.9.8.7.6!}{6!6!}$

$C_{6,12}=\frac{12.11.10.9.8.7}{6!}$

$C_{6,12}=\frac{12.11.10.9.8.7}{6.5.4.3.2}$

$C_{6,12}=11.2.3.2.7$

$C_{6,12}=924$

Ao todo teriamos 924 formas diferentes de se escolher, porém não queremos os dois atletas especificos juntos, então vamos calcular a combinação na qual a gente escolhe os dois juntos e retirar ela do total, pois assim só sobrará a quantidade na qual os dois não são escolhidos juntos.

Como esta combinação que vamos calcular já temos certeza de 2 atletas, ela é uma combinação de 4 entre 10:

$C_{n,p}=\frac{p!}{n!(p-n)!}$

$C_{4,10}=\frac{10!}{4!6!}$

$C_{4,10}=\frac{10.9.8.7}{4.3.2}$

$C_{4,10}=10.3.7$

$C_{4,10}=210$

Assim temos 210 combinações nas quais estes dois estão juntos, então vamos retirar ela do total:

924 - 210 = 714

Assim temos 714 formas de selecionarmos atletas sem ter os dois juntos.