Question

Dentre todos os retângulos de perímetro P o de maior área tem área igual a:


a)$\frac{p^{2} }{4}$
b)$\frac{p^{2} }{16}$
c)$p^{2}$
d)$\frac{p^{2} }{2}$
e)$\frac{p^{2} -2}{2}$

Answer 1

Seja x e y os lados desse retângulo, ou seja, o perímetro desse retângulo é dado por:

$p=x+x+y+y=2x+2y$

Logo,

$p=2x+2y\Rightarrow x + y = \dfrac{p}{2} \\ \Rightarrow y = \dfrac{p}{2} - x\Rightarrow y = \dfrac{p - 2x}{2}$

Temos também que a área do retângulo é dado por

$A=x\cdot y = x \cdot \dfrac{p - 2x}{2} = \dfrac{ - 2 {x}^{2} + px }{2}$

Ou seja, a área do retângulo é dado por uma equação quadrática com concavidade para baixo, logo tem um valor máximo. Agora basta derivar essa função e igualar a zero, que encontramos o seu valor máximo. Ou seja,

$y' = 0\Rightarrow\dfrac{ - 4{x}+ p}{2} = 0 \\ \Rightarrow - 4x + p = 0\Rightarrow - 4x = - p \\ \Rightarrow \: x = \dfrac{p}{4}$

Substituindo na área do retângulo, temos que $A = \dfrac{ - 2 {x}^{2} + px }{2}=\dfrac{ - 2 \dfrac{p^2}{16} + \dfrac{p^2}{4} }{2} \\ =\dfrac{ - \dfrac{p^2}{8} + \dfrac{p^2}{4} }{2}=- \dfrac{p^2}{16} + \dfrac{p^2}{8} \\ =- \dfrac{p^2}{16} + \dfrac{p^2}{8} =\dfrac{-p^2+2p^2}{16} \\ \Rigtharrow A=\dfrac{p^2}{16}$

Portanto, a resposta correta é a letra (b)