Question

Dentre todas as descobertas do sábio Arquimedes de Siracusa, a que parece ter sido sua favorita foi a razão entre os volumes de um cilindro reto e de uma esfera inscrita nesse cilindro. As fórmulas de cilindro e esfera que estudamos aqui devem-se em grande parte a ele; graças a isso que atualmente é fácil de descobrir a razão entre os volumes citados. Descubra assim, o quociente citado no texto.

Não entendi quase nada disso, alguém pode me ajudar?

Answer 1

Resposta:

O quociente, ou razão, citado no texto é $\frac{3}{2}$.

Explicação passo a passo:

Veja que se a esfera está inscrita no cilindro, então a altura $H$ do cilindro tem medida igual ao diâmetro da esfera, ou seja, o dobro do raio $r$ da esfera, então $H = 2r$. Além disso, veja que o raio da esfera tem a mesma medida do raio $R$ da base do cilindro, ou seja, $R = r$.

O volume do cilindro será dado por $V = \pi.R^2.H$, substituindo $R = r$ e $H = 2r$ teremos que o volume é dado por $V = \pi.r^2.(2r) = 2.\pi.r^3$.

O volume da esfera será dado por $v = \frac{4}{3} \pi.r^3$.

Então a razão entre os volumes do cilindro e da esfera é $\frac{V}{v} = \frac{2\pi.r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{2}{\frac{4}{3} } = \frac{2.3}{4} = \frac{3}{2}$