Dentre as transformações T: R² → R² definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares: a) T(x,y) = ( x + 1 , y) b) T(x,y) = ( y-x, 0) c) T(x,y) = ( x.y , x - y)
Soluções para a tarefa
Dentre as transformações apresentadas, apenas a segunda (letra b) é linear.
Transformação linear
Para que uma transformação seja linear, ela deve obedecer as seguinte relações:
- T(u+v) = T(u) + T(v)
- T(α.u) = α.T(u)
Onde:
- u é um vetor qualquer (x1,y1)
- v é outro vetor qualquer (x2,y2)
- α é uma constante
- T é a transformação de R2 em R2
- u+v = (x1+x2,y1+y2)
Então, para as transformações citadas:
a) T(x,y) = (x+1,y)
u+v = (x1+x2,y1+y2)
T(u) = (x1+1,y1) e T(v) = (x2+1,y2)
T(u) + T(v) = (x1+x2+2,y1+y2)
T(u+v) = (x1+x2+1,y1+y2)
Como T(u)+T(v) ≠ T(u+v), esse caso não é linear
b)T(x,y) = (y-x,0)
T(u) = (y1-x1,0) e T(v) = (y2-x2,0)
T(u) + T(v) = (y1+y2-x1-x2,0)
T(u+v) = (y1+y2-x1-x2,0)
T(α.u) = (α.y1-α.x1,0)
αT(u) = α(y1-x1,0) = (α.y1-α.x1,0)
Como T(u)+T(v) = T(u+v) e T(α.u) = αT(u), esse caso é linear
c)T(x,y) = (x.y,x-y)
T(u) = (x1.y1,x1-y1) e T(v) = (x2.y2,x2-y2)
T(u) + T(v) = (x1.y1+x2.y2,x1+x2-y1-y2)
T(u+v) = ([x1+x2][y1+y2] , x1+x2-y1-y2) = (x1.y1+x1.y2+x2.y1+x2y2 , x1+x2-y1-y2)
Como T(u)+T(v) ≠ T(u+v), esse caso não é linear
Para conhecer mais sobre transformações lineares, acesse o link:
https://brainly.com.br/tarefa/7400778
Bons estudos!
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