Question

Demostrem as seguintes identidades trigonométricas: tan² x . csc² x = 1 + tan² x

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para demonstrar a seguinte identidade:

tan²(x)*csc²(x) = 1 + tan²(x)

Vamos trabalhar com o 1º membro e chegar ao segundo membro.
Note que, no 1º membro, temos que: tan²(x) = sen²(x)/cos²(x); e temos csc²(x) = 1/sen²(x). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

[sen²(x)/cos²(x)]*1/sen²(x) = 1 + tan²(x) --- efetuando o produto indicado no 1º membro, ficaremos com:

sen²(x)*1/cos²(x)*sen²(x) = 1 + tan²(x) ---- ou apenas:
sen²(x)/cos²(x)*sen²(x) = 1 + tan²(x)

Agora veja: no 1º membro, vamos dividir sen²(x) do numerador, com sen²(x) do denominador, com o que ficaremos apenas com:

1/cos²(x) = 1 + tan²(x).

Note que: q1/cos²(x) = sec²(x). Então iremos ficar assim:

sec²(x) = 1 + tan²(x)

E, finalmente, note que: sec²(x) = 1 + tan²(x). Assim, iremos ficar com:

1 + tan²(x) = 1 + tan²(x)  <---- Pronto. Ficou provada a identidade pedida.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.