Question

Demostre que os pontos A(6,-13), B(-2,2) C(13,10) e D(21,-5) são os vértices consecutivos de um quadrado.


(Sugestão: Verifique que os lados são congruentes e que os ângulos são retos)

Answer 1

Resposta:

Os lados são congruentes e os ângulos retos.

Explicação passo-a-passo:

$\bar {AB}$=$\sqrt{(\Delta x_{AB})^{2}+(\Delta y_{AB})^{2}}$

Sendo $\Delta x_{AB}$=intervalo entre as cordenadas x de A e B.

Sendo $\Delta y_{AB}$=intervalo entre as cordenadas y de A e B.

Considerando (x,y):

• Distância entre A e B:

$\Delta x_{AB}$=6-(-2)=8

$\Delta y_{AB}$=2-(-13)=15

$\sqrt{8^{2}+15^{2}}$=$\sqrt{64+225}$=$\sqrt{289}$

• Distância entre B e C:

$\Delta x_{BC}$=13-(-2)=15

$\Delta y_{BC}$=10-2=8

$\sqrt{8^{2}+15^{2}}$=$\sqrt{64+225}$=$\sqrt{289}$

• Distância entre C e D:

$\Delta x_{CD}$=21-13=8

$\Delta y_{CD}$=10-(-5)=15

$\sqrt{8^{2}+15^{2}}$=$\sqrt{64+225}$=$\sqrt{289}$

• Distância entre D e A:

$\Delta x_{DA}$=21-6=15

$\Delta y_{DA}$=-5-(-13)=8

$\sqrt{8^{2}+15^{2}}$=$\sqrt{64+225}$=$\sqrt{289}$

Se todos os ângulos forem retos, os lados serão iguais(que provamos acima), e as diagonais também.

Como $\bar {AB}$=$\sqrt{(\Delta x_{AB})^{2}+(\Delta y_{AB})^{2}}$

Considerando (x,y):

• Diagonal de A até C:

$\Delta x_{AC}$=13-6=7

$\Delta y_{AC}$=10-(-13)=23

$\sqrt{7^{2}+23^{2}}$=$\sqrt{49+529}$=$\sqrt{578}$

• Diagonal de B até D:

$\Delta x_{BD}$=21-(-2)=23

$\Delta y_{BD}$=2-(-5)=7

$\sqrt{7^{2}+23^{2}}$=$\sqrt{49+529}$=$\sqrt{578}$