Question

Demostrar que,
para todo número natural n, Mn= n(n2 – 1)(3n + 2) é múltiplo de 24.
Substitua inicialmente n por 1; 2 e 3 e depois verifique a afirmação para n = K e n= k + 1 para provar se a sentença é verdadeira.

Answer 1

Demosntrar que, para todo natural $n,$

$M_n=n(n^2-1)(3n+2)\\\\ M_n=n(n+1)(n-1)(3n+2)$

é múltiplo de 24.

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• Caso base. Para $n=1:$

$M_1=1(1+1)(1-1)(3\cdot 1+2)\\\\ =0\\\\ =0\cdot 24~~~~~~(\checkmark)$


• Suponha que a fórmula vale para algum $n=k>1:$      (hipótese de indução)

$M_k=k(k+1)(k-1)(3k+2)$ é múltiplo de 24,

isto é, existe algum natural $q$ de forma que

$M_k=k(k+1)(k-1)(3k+2)=q\cdot 24~~~~~~(\text{H.I.})$


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Tomemos a diferença entre dois termos consecutivos desta sequência:

$M_{k+1}-M_k\\\\ =(k+1)\big((k+1)+1\big)\big((k+1)-1\big)\big(3(k+1)+2\big)-k(k+1)(k-1)(3k+2)\\\\ =(k+1)(k+2)k(3k+3+2)-k(k+1)(k-1)(3k+2)\\\\ =k(k+1)\cdot \big[(k+2)(3k+5)-(k-1)(3k+2)\big]\\\\ =k(k+1)\cdot \big[(3k^2+5k+6k+10)-(3k^2+2k-3k-2)\big]\\\\ =k(k+1)\cdot \big[(3k^2+11k+10)-(3k^2-k-2)\big]\\\\ =k(k+1)\cdot \big[3k^2+11k+10-3k^2+k+2\big]$

$=k(k+1)\cdot \big[12k+12\big]\\\\ =k(k+1)\cdot 12(k+1)\\\\ =12\cdot k(k+1)\cdot (k+1)~~~~~~\mathbf{(i)}$

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É simples verificar que o produto $k(k+1)$ é par, pois é o produto entre dois naturais consecutivos, de forma que necessariamente um dos dois é par.

E sabemos que o produto de um número par, por um ímpar sempre resulta em par.

$\therefore~~k(k+1)=2r~~~~\text{para algum }r\in\mathbb{N}$


Voltando à igualdade $\mathbf{(i)},$ temos que

$M_{k+1}-M_k=12\cdot 2r\cdot (k+1)\\\\ M_{k+1}-M_k=24r\cdot (k+1)\\\\ M_{k+1}=24\cdot r(k+1)+M_k~~~~~(\text{usando a H.I.})\\\\ M_{k+1}=24\cdot (k+1)r+24q\\\\ M_{k+1}=24\cdot \big[(k+1)r+q\big]$


Logo, $M_{k+1}$ é múltiplo de 24 como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)