Question

Demonstre usando o princípio da indução infinita

1+2+3+...+n=[n(n+1]/2

Answer 1

Resposta:

$1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Uma proposição é verdadeira quando, para todo $n\in \mathbb{N}$, temos,

1) $\text{P} \left({n_0}\right)$ é verdadeira, isto é, a propriedade é valida para $n = n_0$

2) Se $k\in\mathbb{N}$, e $\text{P} (k)$ é verdadeira, então $\text{P} (k+1)$ é verdadeira também.

Assim, vamos provar.

1) P(1) é verdadeira, pois

$1=\dfrac{1(1+1)}{2} \rightarrow \dfrac{1\cdot2}{2} \rightarrow 1$

Para provar 2), vamos admitir que $\text{P} (k)$ com $k\in\mathbb{N}$ é verdadeira,

$1+2+3+...+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$  (hipótese da indução),

Se $\text{P} (k)$ é verdadeira, então $\text{P} (k+1)$ é verdadeira também.

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{(k+1)\left[(k+1)+1\right] }{2}$

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{k^2+2k+k+2}{2}$

Reorganizando o segundo termo,

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{k^2+k+2k+2}{2}$

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{k^2+k}{2}+\dfrac{2k+2}{2}$

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{k(k+1)}{2}+\dfrac{2(k+1)}{2}$

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

Está provada, pois a hipótese de indução nos diz,

$1+2+3+...+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$  

Se adicionarmos $(k+1)$ aos dois lados chegamos ao desenvolvimento da prova anterior.

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)$