Demonstre usando o Princípio da Indução Finita:
2n ≥ n + 1, ∀n ∈ N* (não compreendi a solução do livro Fundamentos de Matemática Elementar, por que aparece "(k+1) + 2"?)
Soluções para a tarefa
Resposta:
O princípio da indução finita é um método de prova envolvendo o conjunto dos naturais,que consiste em três etapas:
I.Provar que P(n) é verdadeira,onde n é o menor elemento para a qual a propriedade P valha (geralmente n=1) ;
II. Assumir que a propriedade valha para algum natural k=n (P(k)) (hipótese de indução) ;
III.Demonstrar que P(k+1) é verdadeira (passo indutivo).
No caso,P(1) é verdadeira,pois 2 ≥ 2.Assumindo que valha P(k),temos 2k ≥ k+1.Devemos utilizar a hipótese,isto é,P(k),para demonstrar P(k+1).
2(k+1) ≥ k+1+1 => 2k+2 ≥ k+1+1
Ora,mas sabemos que 2k ≥ k+1 pela hipótese.Logo, 2k+2 ≥ k+1+2 (substituímos 2k por k+1 e mantemos fixo o 2 e a proposição permanece verdadeira).
Por fim, temos que k+1+2 ≥ k+1+1 => k+3 ≥ k+2 (verdade)
Seja p(n) a proposição dada.
p(n): 2n≥n+1 ∀n ∈ N*
Testemos p(1):
P(1):2.1≥1+1 portanto p(1) é verdadeira.
hipótese : suponha que a proposição é válida para n, ou seja, 2n≥n+1 ∀n ∈ N*. Se demonstrarmos que a proposição vale para n+1, então p(n) valerá ∀n ∈ N*
Demonstração
usando a hipótese temos
2(n+1)=2n+2≥n+1+2>n+1+1=(n+1)+1=p(n+1) c.q. d
O k+1+2 aparece porque 2n≥n+1 na hipótese.