Question

demonstre usando o principio da indução finita:
1+ 2 + 3 +...+ N=N(N+1)/2​

Answer 1

Resposta:

para n=1

1=1 (1+1)/2

1=1 (2)/2

1=2/2

1=1

ok

Agora provamos para(n+1).

P(n)=1+2+3+...+n=n (n+1)/2

Então:

P (n+1)=1+2+3+...+n (n+1)=(n+1)[(n+1)+1]/2

Sabemos que:

1+2+3+...+n=n (n+1)/2

Portanto só substituir:

n (n+1)/2 (n+1)=(n+1)[(n+1)+1]/2

[n (n+1)+2 (n+1)]/2=(n+1)(n+2)/2

Corto os Deminadores:

n2+n+2n+2=n2+2n+n+2

n2+3n+2=n2+3n+2

beijos

Answer 2

Seja p(n) a proposição

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Testemos p(1):.

$\frac{1.(1 + 1)}{2} = \frac{1.2}{2} = 1$

Suponha que a proposição seja válida para n, ou seja, p(n)

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Devemos mostrar que a proposição é verdadeira para n+1, ou seja,

p(n+1)

$1 + 2 + 3 + ...n + n + 1 \\ = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$

Demonstração :

Com efeito,

$1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 \\ = \frac{n( n + 1)}{2} + n + 1$

$\frac{n(n + 1) + 2(n + 1)}{2} \\ = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$

= p(n+1)

∴ p(n) é verdadeira para todo n

∎