Question

Demonstre (usando indução) que, para todo número inteiro positivo n, 1 × 2 + 2 × 3 + . . . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3. Indique todos os passos.

Answer 1

Em matemática, a indução é um raciocínio que permite provar proposições que dependem de uma variável n, que assume uma infinidade de valores inteiros.

$\rm{ \forall n \in \mathbb{N} \qquad \{1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + n(n + 1) = \cfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \} }$

Nós verificamos Verificar se n = 1 é válido:

$\rm{1(1 + 1) = \cfrac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} }$

$\rm{2 = \cfrac{2\cancel{(3)}}{\cancel{3} } }$

$\rm{2 = 2 }$

Agora, por indução, saberemos que n = k:

$\rm{ {1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + k(k + 1) = \cfrac{ k(k+ 1)(k+ 2)}{3} } }$

• Assumindo que é valido para k, ele deverá ser valido para k + 1

$\rm{ {1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + (k+1)((k+1) + 1) = \cfrac{(k+1)((k+1)+ 1)((k+1)+ 2)}{3} } }$

$\rm{ {\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)((k+1) + 1) = \cfrac{(k+1)((k+1)+ 1)((k+1)+ 2)}{3} } }$

$\rm{ {\dfrac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3} = \cfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} } }$

$\rm{ {\dfrac{k^3+6k^2+11k+6}{3} = \cfrac{k^3+6k^2+11k+6}{3} } }$

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