Question

Demonstre usando do princípio da indução finita, que:



$\large\begin{array}{l}\mathsf{1^3+2^3+3^3+...+n^3=}\begin{bmatrix}\mathsf{\dfrac{n(n+1)}{2}}}\end{bmatrix}^\mathsf{2},~~\mathsf{\forall~n~\in~\mathbb N*}\end{array}$

Answer 1

Devemos mostrar, pelo Princípio da Indução Finita, que

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}i^{3}=\bigg[\dfrac{n(n+1)}{2}\bigg]^{2}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}~~~(\star)~~~~~~~~~\forall\,n\ge1$

Para isso, verificaremos a validade da igualdade para $n=1$:

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{1}i^{3}=1^{3}=1=\dfrac{1\cdot4}{4}=\dfrac{1^{2}\cdot2^{2}}{4}=\dfrac{\mathbf{1}^{2}\cdot(\mathbf{1}+1)^{2}}{4}~~(\checkmark)$

Assumiremos, por hipótese de indução, que $(\star)$ vale para $n=k~\textgreater~1$, isto é,

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}i^{3}=1^{3}+...+\mathbf{k}^{3}=\dfrac{\mathbf{k}^{2}\cdot(\mathbf{k}+1)^{2}}{4}$

Agora, temos que mostrar que $(\star)$ também vale para $n=k+1$

Temos, por hipótese, que

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}i^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$

Adicionando $(k+1)^{3}$ aos dois lados da igualdade:

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}i^{3}\,\,+\,\,(k+1)^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}\\\\\\\sum\limits_{i=1}^{k+1}i^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}$

Colocando $(k+1)^{2}$ em evidência no numerador:

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k+1}i^{3}=\dfrac{(k+1)^{2}\cdot(k^{2}+4[k+1]^{1})}{4}\\\\\\\sum\limits_{i=1}^{k+1}i^{3}=\dfrac{(\mathbf{k+1})^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}\\\\\\\sum\limits_{i=1}^{k+1}i^{3}=\dfrac{(\mathbf{k+1})^{2}(k^{2}+2\cdot k\cdot2+2^{2})}{4}$

Podemos escrever $k^{2}+2\cdot k\cdot2+2^{2}$ como $(k+2)^{2}$. Logo,

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k+1}i^{3}=\dfrac{(\mathbf{k+1})^{2}(k+2)^{2}}{4}\\\\\\\sum\limits_{i=1}^{k+1}i^{3}=\dfrac{(\mathbf{k+1})^{2}(\mathbf{k+1}+1)^{2}}{4}$

Mostramos que se $(\star)$ vale para $n=k$, então vale para $n=k+1$

Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, temos que $(\star)$ vale para todo $n\ge1$.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Princípio da Indução Finita :

Demonstrar que :

$\mathsf{1^3+2^3+3^3+...+n^3~=~\Bigg( \dfrac{n(n+1)}{2} \Bigg)^2 }$

1. Verificar a validade para n = 1 :

$\mathsf{1^3~=\Bigg(\dfrac{1(1+1)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{\red{1~=~1}}$

2. Supor a validade para um natural número k qualquer :

$\mathsf{1^3+2^3+3^3+...+k^3~=~\Bigg( \dfrac{(k(k+1)}{2} \Bigg)^2 }$

3 . Provar que para o natural k + 1 , em relação é também válida :

$\mathsf{\underbrace{1^3+2^3+3^3+...+k^3}_{\Big(\frac{k(k+1)}{2} \Big)^2 } + (k+1)^3~=~\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{\Bigg( \dfrac{k(k+1)}{2} \Bigg)^2+(k+1)^3~=~\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2) }{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3~=~ \Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{\dfrac{k^2(k+1)^2+4(k+1)(k+1)^2}{4}~=~\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{ \dfrac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{2} ~=~\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{ \dfrac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}~=~\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{ \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}~=~ \Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 }$

$\mathsf{\red{\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2~=~\Bigg( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \Bigg)^2 } }$

$\boxed{\mathsf{C.Q.D}}}}$

Espero ter ajudado bastante!)