Question

Demonstre que toda equação do 2º grau em x pode ser escrita na forma (x-$x_{1}$).(x-$x_{2}$)=0, sendo $x_{1}$ e $x_{2}$ suas raízes

Answer 1

Todas as equações do segundo grau são da seguinte forma:

$ax^{2}+bx+c=0$

onde $a,\;b,\;c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$.


Multiplicando os dois lados por $4a$, temos

$4a\left(ax^{2}+bx+c \right )=4a \cdot 0\\ \\ 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0$


Somando e subtraindo o termo $b^{2}$, temos

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}-b^{2}+4ac=0\\ \\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}-\left(b^{2}-4ac \right )=0\\ \\ 4a^{2}x^{2}+4abx+\left[\;b^{2}-\left(\sqrt{b^{2}-4ac} \right )^{2} \;\right ]=0$


O termo em colchetes é a diferença entre dois quadrados. Utilizando os produtos notáveis, fatoramos a expressão em colchetes e chegamos a

$4a^{2}x^{2}+4abx+\left(b+\sqrt{b^{2}-4ac}\right)\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac}\right)=0\\ \\ 4a^{2}x^{2}+2abx+2abx+\left(b+\sqrt{b^{2}-4ac}\right)\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac}\right)=0\\ \\ \left(2ax \right )^{2}+\left(2ax \right )b+\left(2ax \right )b+\left(b+\sqrt{b^{2}-4ac}\right)\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac}\right)=0$


Para chegarmos ao nosso objetivo, adicionamos e subtraimos o termo

$\left(2ax \right )\sqrt{b^{2}-4ac}$

e colocamos $2ax$ em evidência, para que possamos fatorar depois:


$\left(2ax \right )^{2}\\ \\+\left(2ax \right )b+\left(2ax \right )\sqrt{b^{2}-4ac}\\ \\-\left(2ax \right )\sqrt{b^{2}-4ac}+\left(2ax \right )b\\ \\+\left(b+\sqrt{b^{2}-4ac}\right)\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac}\right)=0\\ \\ \\ \left(2ax \right )^{2}+2ax\left(b+\sqrt{b^{2}-4ac} \right )+\\ \\2ax\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac} \right )+\left(b+\sqrt{b^{2}-4ac}\right)\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac}\right)=0$


Colocando novamente o $2ax$ em evidência nos dois primeiros termos e o $\left(b-\sqrt{b^{2}-4ac}\right)$ em evidência nos dois últimos termos, chegamos a

$\left(2ax \right )\left(2ax+b+\sqrt{b^{2}-4ac} \right )+\\ \\ \left(b-\sqrt{b^{2}-4ac} \right )\left(2ax+b+\sqrt{b^{2}-4ac} \right )=0\\ \\ \\ \left(2ax+b+\sqrt{b^{2}-4ac} \right )\left(2ax+b-\sqrt{b^{2}-4ac} \right )=0$


Colocando o $2a$ em evidência em cada um dos fatores entre parênteses, chegamos a

$2a\left(x+\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\cdot 2a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )=0\\ \\ 4a^{2}\left(x+\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\left(x+\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )=0$


Multiplicando os dois lados por $\frac{1}{4a^{2}}$, temos

$\left(x+\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\left(x+\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )=0\\ \\ \left(x-\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )=0\\ \\ \left(x-x_{1} \right )\left(x-x_{2} \right )=0$


onde

$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \\ x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

são as raízes da equação inicial.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a equaçåo da parabola pode ser determinada a partir de sua raizes e x ex uzando a forma fatorada y= a(x_)(x_x)