Question

Demonstre que $f$ é uma função de duas variáveis diferenciável em $(a,b)$, então $f$ é contínua em $(a,b)$.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

diferenciabilidade d'uma função

Demonstrar que se f é uma função de duas variáveis diferenciável em (a , b), então f é contínua em (a , b).

Demonstração :

1) Se f é diferencial então $\sf{ \exists a,b \in \mathbb{R} }$ tais que :

$\purple{ \boxed{ \boxed{\displaystyle\lim_{(h, k) \to (0,0) } \sf{ \dfrac{ f(x_{0} + h~,~ y_{0}+k) - f( x_{0}~,~ y_{0}) - a*h - b*k }{ ||(h,k)|| } } } } \sf{ \longleftarrow Hip\acute{o}tese } }$

Quer-se demonstrar que: $\underbrace{\displaystyle\lim_{(h,k) \to (0,0)} \sf{ f(x_{0}+h ~,~ y_{0}+k) ~=~f(x_{0}, y_{0})}}_{\sf{Tese}}$

2) Denotemos por erro-function:

$\red{\sf{ E(h,k)~=~f(x_{0}+h~,~ y_{0}+k) - f(x_{0}, y_{0}) - a*h - b*k } }$, Então :

$\sf{ f(x_{0}+h~,~ y_{0}+k)~=~f(x_{0},y_{0})+\underbrace{ah+bk}_{=0~ Quando~(h,k)\to (0,0) }+ E(h,k) }$

$\sf{ (I)~ f(x_{0} + h~,~ y_{0}+k)~=~ f_(x_{0},y_{0}) + E(h,k) }$

3) Vamos mostrar que $\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sf{ E(h,k) ~=~0}$daí concluir a demonstração.

$\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sf{\dfrac{E(h,k)}{1}}~=~ \displaystyle\lim_{(h,k)~\to~(0,0)} \sf{ \dfrac{ E(h,k) }{||(h,k)|| } * ||(h,k) ||}$

$\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sf{ E(h,k)}~=~\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\sf{ 0*|| (h,k) || ~=~0 }$

4) Com isso :

$\sf{ (I)} ~\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sf{f(x_{0}+h~,~ y_{0}+k) ~=~ f(x_{0},y_{0}) + E(h,k) }$

$\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sf{ f(x_{0}+h~,~ y_{0}+k)}~=~\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\sf{ f(x_{0},y_{0})}~ + \underbrace{\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sf{E(h,k)} }_{=0}$

$\green{ \boxed{ \boxed{ \displaystyle\lim_{(h,k)~ \to~ (0,0)} \sf{f(x_{0}+h~,~ y_{0}+k)} ~=~\sf{f(x_{0},y_{0}} } } \sf{ \longleftarrow C.Q.D } }$

Espero ter ajudado bastante!)