Question

Demonstre que $(1+x)^n$ ≈ 1 + n.x , usando o Teorema Binomial , dado que x é um número infinitamente pequeno , como por exemplo 0,0002

Answer 1

Olá Luden...

Essa questão não será possível provar usando o conceito binomial sem que tenhamos um valor de "n'' e "x'' fornecido.

Porém essa igualdade nos restringe a uma condição:

Ou seja, para que seja verdadeira a igualdade, "X" deve ser definitivamente muito pequeno. Quando mais pequeno for, mais preciso será a nossa resposta.
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Escolhendo "X" = 0,000000001 = 10⁻⁹  e n = 5 teremos:

$(1+x)^n = 1+nx$

Lembrando que:
                    n
(1+x)^n =    ∑   Cn,k ×1^(n)*x^(n-k)
                  k =0


Vamos substituir "n = 5"


$(1+x)^5 = C_{5,0} *1^0x^(^5^-^0^)+C_{5,1} *1^1x^(^5^-^1^)+C_{5,2} *1^2x^(^5^-^2^)+ \\ \\ +C_{5,3} *1^3x^(^5^-^3^)++C_{5,4} *1^4x^(^5^-^4^)+ \\ \\ +C_{5,5} *1^5x^(^5^-^5^) \\ \\ \\ (1+x)^5 = x^5+ \frac{5!x^4 }{1!4!} + \frac{5!x^3}{2!3!} + \frac{5!x^2}{3!2!} + \frac{5! x}{4!1!}+1 \\ \\ (1+x)^5 = x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Mas sabemos que,

$(1+x)^n = 1+nx$

Logo,

$(1+x)^5 = 1+5x$
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Substituindo na igualdade binomial:

$\\1+5x = x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Substituindo "x = 10⁻⁹" obtemos:


$\\1+5*10^-^9 =(10^-^9)^5+5(10^-^9)^4+10(10^-^9)^3+10(10^-^9)^2 \\ \\ 5(10^-^9)+1 \\ \\ \\ 5*10^-^9 = 10^-^4^5+5*10^-^3^6+10^-^2^6+10^-^1^7+5*10^-^9+10^0 \\ \\ 5*10^-^9 = 5*10^-^9$