Question

Demonstre que, se f: G →J é um isomorfismo de grupos, então f^{-1} : J → G também é um isomorfismo de grupos. (eu sei demostrar que é um homomorfismo, minha dúvida maior é como mostrar que a função inversa é bijetora)

Answer 1

Olá!

   Farei a sobrejetividade da inversa que você disse que ficou faltando.

   Seja   $f:G\to{J}$   isomorfismo entre grupos. Então    $f^{-1}:J\to{G}$   existe e é contínua. Suponha que    $f^{-1}$   não seja sobrejetora. Isto é,

$\exists\;x\in{G}$   tal que sua pré-imagem pela    $f^{-1}$   não está em    $J.$   Agora, a pré-imagem deste elemento é

$f^{-1}(f^{-1}(x))=f(x)\in{J},$    pois    $f$    é bijeção e temos    $x\in{G}.$    Contradição!

    Portanto,    $f^{-1}:J\to{G}$   é sobrejetora e, consequentemente, um isomorfismo entre grupos.

Bons estudos!