Question

Demonstre que para quaisquer dois números positivos a e b temos:

MA(média aritmética)>-(maior igual)Mg(média geométrica)>-(maior igual)Mh(média harmônica)

Answer 1

Demonstração:

Sabemos que para dois termos quaisquer, as médias ficam assim

$ma = \frac{a + b}{2}$

$mg = \sqrt{ab}$

$mh = \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} }$

Então teremos que provar que

$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} }$

Começaremos pela média aritmética e a média geométrica.

• Para quaisquer números inteiros a e b, vale que

${(a - b)}^{2} \geqslant 0$

É fácil ver que o quadrado de um número é sempre um número positivo, e só será igual a 0 quando a - b for igual a 0.

Se eu considerar os dois números como sendo √a e √b

${( \sqrt{a} - \sqrt{b)} }^{2} \geqslant 0$

Resolvendo o produto notável

$a - 2 \sqrt{ab} + b \geqslant 0$

$a + b \geqslant 2 \sqrt{ab}$

$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

Logo vemos que o primeiro caso já está provado.

Agora temos que demonstrar que a média geométrica entre dois termos é sempre maior ou igual que a média harmônica.

Vamos usar a primeira prova para nos ajudar.

calculando a média aritmética e a média geométrica entre 1/a e 1/b, já já você vai entender o porquê.

Já vimos que MA é maior ou igual a MG

Logo,

$\frac{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} }{2} \geqslant \sqrt{ \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} }$

Mas repare que a média aritmética entre 1/a e 1/b é igual ao inverso da média harmônica entre a e b.

Ou seja,

$\frac{1}{mh } \geqslant \sqrt{ \frac{1}{ab} }$

Vamos fazer o inverso da média geométrica agora

$\frac{1}{mg} = \frac{1}{ \sqrt{ab} }$

Ora,

$\frac{1}{ \sqrt{ab} } = \sqrt{ \frac{1}{ab} }$

Portanto,

$\frac{1}{mh} \geqslant \frac{1}{mg}$

Se a gente inverter as frações, temos que inverter a comparação, Logo

$mg \geqslant mh$

Por fim, concluímos que

$ma \geqslant mg \geqslant mh$

Espero ter ajudado.