Question

Demonstre que o triângulo de vértices A (8,2), B (3,7) e C (2,1) é isósceles. Em seguida calcule o perímetro.

Answer 1

Olá!

Temos as seguintes coordenadas dos três vértices de um triângulo ABC, vejamos:
$A( x_{A} ,y_{A}), B( x_{B} ,y_{B}),C( x_{C} ,y_{C})$
$A (8,2), B (3,7) , C (2,1)$

Para calcular o perímetro do triângulo somamos as distâncias entre os vértices:
$p = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA}$

Vamos calcular a distância dos vértices:
*distância de A até B:
$d_{AB} = \sqrt{( x_{B} -x_{A})^2+( y_{B} - y_{A})^2}$
$d_{AB} = \sqrt{( 3 - 8)^2+( 7 - 2)^2}$
$d_{AB} = \sqrt{(-5)^2+( 5)^2}$
$d_{AB} = \sqrt{25+25}$
$d_{AB} = \sqrt{50}$
$\boxed{d_{AB} = 5 \sqrt{2} }$

Vamos calcular a distância dos vértices:
*distância de B até C
$d_{BC} = \sqrt{( x_{C} -x_{B})^2+( y_{C} - y_{B})^2}$
$d_{BC} = \sqrt{( 2 - 3)^2+( 1 - 7)^2}$
$d_{BC} = \sqrt{(-1)^2+(-6)^2}$
$d_{BC} = \sqrt{1+36}$
$\boxed{d_{BC} = \sqrt{37}}$

Vamos calcular a distância dos vértices:
*distância de C até A
$d_{AC} = \sqrt{( x_{C} -x_{A})^2+( y_{C} - y_{A})^2}$
$d_{AC} = \sqrt{( 2 - 8)^2+( 1 - 2)^2}$
$d_{AC} = \sqrt{(-6)^2+(-1)^2}$
$d_{AC} = \sqrt{36+1}$
$\boxed{d_{AC} = \sqrt{37}}$

Observação: Nota-se que as distâncias BC e CA SÃO IGUAIS (ISÓSCELES)

O perímetro do triângulo será:
$p = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA}$
$p = 5 \sqrt{2} + \sqrt{37} + \sqrt{37}$
$\boxed{\boxed{p = 5 \sqrt{2} + 2\sqrt{37}}}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$

Espero ter ajudado!

Answer 2

Como A, B e C são os vértices do triângulo, para que ele seja classificado como isósceles, dois de seus lados devem ser iguais, então, basta calcular a distância entre os pontos e verificar se acontece de dois deles serem iguais.

A distância entre dois pontos A e B é dada por:

d(A,B) = √[(Bx - Ax)² + (By - Ay²)]

Substituindo os valores, temos:

- Segmento AB

d(A,B) = √[(3-8)² + (7-2)²]

d(A,B) = √[25 + 25]

d(A,B) = √50

- Segmento BC

d(B,C) = √[(2-1)² + (1-7)²]

d(B,C) = √[1 + 36]

d(B,C) = √37

- Segmento CA

d(C,A) = √[(2-8)² + (1-2)²]

d(C,A) = √[36 + 1]

d(C,A) = √37

Como pode-se ver, os segmentos AC e BC são iguais, portanto, este triângulo é isósceles e seu perímetro será dado pela soma dos segmentos:

P = √50 + 2√37