Question

Demonstre que o perímetro do triângulo JRS é menor que o perímetro do triângulo XYZ da figura a seguir.

Eu sei que é óbvio, mas quero uma resposta rica em fundamentação, mostrando a origem e o fundamento de tudo que foi feito ​

Answer 1

Semelhança de Triângulos

Obs.: leia a solução pelo navegador!

   Um dado importantíssimo e que não foi dito no enunciado é acerca do paralelismo entre os segmentos. Então assuma que:

$\overline{RS}~//~\overline{XY}$

$\overline{JR}~//~\overline{YZ}$

$\overline{SJ}~//~\overline{ZX}$

Obs.: a barra indica um segmento. (Simbologia matemática)

   A partir disso, observe que as semelhanças existentes:

$\Delta XYZ\sim\Delta XJR\quad(I)$

$\Delta XYZ\sim\Delta YJS\quad(II)$

$\Delta XYZ\sim\Delta ZRS\quad(III)$

Obs.: o delta maiúsculo indica um triângulo e os triângulos da direita estão todos "contidos" nos da esquerda. Logo, seus lados são menores.

   Com isso, podemos concluir de (II):

$\dfrac{\overline{JS}}{\overline{XZ}}=\dfrac{\overline{YS}}{\overline{YZ}}=\dfrac{\overline{YJ}}{\overline{YX}}=m\quad(\alpha)$

   Contudo, concluímos a partir de (I):

$\dfrac{\overline{XR}}{\overline{XZ}}=\dfrac{\overline{JR}}{\overline{YZ}}=\dfrac{\overline{XJ}}{\overline{XY}}=n\quad(\beta)$

   E também de (III):

$\dfrac{\overline{RZ}}{\overline{XZ}}=\dfrac{\overline{SZ}}{\overline{YZ}}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{XY}}=p\quad(\gamma)$

  Daí, vamos escolher algumas igualdades em α, β e γ:

$\overline{JS}=m\cdot \overline{XZ},~sendo~~m\in\mathbb{Q_+^*}/~0<m<1\Rightarrow\overline{JS}<\overline{XZ}$

   De modo análogo,

$\overline{JR}=n\cdot \overline{YZ},~sendo~~n\in\mathbb{Q_+^*}/~0<n<1\Rightarrow \overline{JR}<\overline{YZ}$  

$\overline{RS}=p\cdot \overline{XY},~sendo~~ p\in\mathbb{Q_+^*}/~0<p<1\Rightarrow \overline{RS}<\overline{XY}$

   Somando as inequações:

$\overline{JS}+\overline{JR}+\overline{RS}<\overline{XZ}+\overline{YZ}+\overline{XY}$

   Logo, o perímetro de ΔJRS é menor ΔXYZ.

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