Question

demonstre que o número √2 é irracional

Answer 1

Vamos demonstrar este teorema por redução ao absurdo.

Demonstração:

Suponha $\sqrt{2}$ seja racional. Dessa forma

$\exists\,a,b\in\mathbb{Q}/\frac{a}{b}=\sqrt{2}\,MDC(a,b)=1$

$\mathsf{\frac{a}{b}=\sqrt{2}}\\\mathsf{{(\frac{a}{b})}^{2}={(\sqrt{2})}^{2}}\\\mathsf{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}=2}\\\mathsf{{a}^{2}=2{b}^{2}}$

$\mathsf{{a}^{2}\,\'{e}\,par\rightarrow\,a\,\'{e} \,par\rightarrow\:a=2n}$

$\mathsf{2{b}^{2}={(2n)}^{2}}\\\mathsf{2{b}^{2}=4{n}^{2}}\\\mathsf{{b}^{2}=\dfrac{4{n}^{2}}{2}}$

$\mathsf{{b}^{2}=2{n}^{2}\rightarrow\,{b}^{2}\,\'e\,par\rightarrow\,b\,\'e\,par}$

Isso é um absurdo pois MDC(a,b)=1 ou seja a e b são primos entre si. Logo $\sqrt{2}$ é irracional c.q.d.