Question

Demonstre que [cos(x)]/ (cos(4x)+cos(2x)) = [sec(3x)]/2 , após demonstrar essa identidade, substitua x = 10º , e calcule (através da tabela trigonométrica o valor numérico de cada lado dessa igualdade, verificando que ambos os lados chegam, de fato, a um mesmo valor?

Por favor me ajude???​

Answer 1

$\displaystyle \frac{\text{cos(x)}}{\text{cos(4x)+cos(2x)}} = \frac{\text{sec(3x)}}{2}$

sabemos que :

$\displaystyle \text{sec(x)}=\frac{1}{\text{cos(x)}}$

então :

$\displaystyle \text{sec(3x)}=\frac{1}{\text{cos(3x)}}$

Então vamos substituir no lado direito e vê no que dá :

$\displaystyle \frac{\text{sec(3x)}}{2}} \to \frac{\displaystyle \frac{1}{\text{cos(3x)}}}{2}\to \frac{1}{2.\text{cos(3x)}}$

então temos :

$\displaystyle \frac{\text{cos(x)}}{\text{cos(4x)+cos(2x)}} = \frac{1}{2\text{cos(3x)}}$

agora vamos mexer no lado esquerdo.

Usando prostaferese  :

$\displaystyle \text{cos(a)+cos(b)} = 2.\text{cos}(\frac{\text{a+b}}{2})}.\text{cos}(\frac{\text{a}-\text b}{2})$

temos :

$\displaystyle \text{cos(4x)+cos(2x)} = 2.\text{cos}(\frac{\text{4x+2\text x}}{2}).\text{cos}(\frac{\text{4x }-2\text x}{2}) \\\\\\ \text{cos(4x)+cos(2x)} = 2.\text{cos(3x)}.\text{cos(x)}$

substituindo na equação original :

$\displaystyle \frac{\text{cos(x)}}{\text{cos(4x)+cos(2x)}} = \frac{1}{2\text{cos(3x)}}$

$\displaystyle \frac{\text{cos(x)}}{2\text{cos(3x).cos(x)}} = \frac{1}{2\text{cos(3x)}} \\\\\\ \huge\boxed{\frac{1}{2\text{cos(3x)}}=\frac{1}{2\text{cos(3x)}} } \checkmark \ \text{C.Q.D}$

fazendo x =10 em cada lado da igualdade :

$\displaystyle \frac{\text{cos(10)}}{\text{cos(4.10)+cos(2.10)}} = \frac{\text{sec(3.10)} }{2}$

$\displaystyle \frac{\text{cos(10)}}{\text{cos(40)+cos(20)}} = \frac{\text{sec(30)} }{2}$

$\displaystyle \frac{0,985}{\text{0,766+0,94}} = \frac{\frac{1}{0,866}}{2} \\\\\\ \frac{0,985}{1,706} = \frac{1,154}{2}\\\\\\ \huge\boxed{0,577 = 0,577 }\checkmark \to \text{verdadeiro}$