Question

demonstre que cada uma das igualdades abaixo é identidade no respectivo universo u ​

Answer 1

a)

$\sin(x) + \cot(x) . \cos(x) \\ \sin(x) + \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } . \cos(x) \\ = \frac{ { \sin }^{2}x + { \cos}^{2}x }{ \sin(x) } = \frac{1}{ \sin(x) }$

$= \csc(x)$

b)

$\tan(x) + \cot(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x)} + \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) }$

$\frac{ { \sin }^{2}x + { \cos}^{2}x }{ \cos(x). \sin(x) } = \frac{1}{ \cos(x). \sin(x) } \\ = \frac{1}{ \cos(x) } . \frac{1}{ \sin(x)} = \sec(x). \csc(x)$

c)

${ \tan}^{2}x - { \sin}^{2}x = \frac{ { \sin }^{2} x}{ { \cos }^{2}x } - { \sin }^{2}x \\ = \frac{ { \sin}^{2}x - { \cos }^{2}x. { \sin}^{2}x}{ { \cos }^{2}x}$

$\frac{ { \sin }^{2}x(1 - { \cos}^{2}x)}{ { \cos}^{2}x } = \frac{ { \sin }^{2}x. { \sin }^{2}x }{ { \cos}^{2}x } \\ = \frac{ { \sin }^{2}x }{ { \cos }^{2}x} . { \sin }^{2}x = { \tan}^{2}x. { \sin }^{2}x$

d)

$\frac{ \sec(x) }{ \csc(x) } + \frac{ \csc(x) }{ \sec(x)} = \frac{ { \sec }^{2}x + { \csc}^{2}x}{ \csc(x). \sec(x) }$

${ \sec}^{2}x + { \csc }^{2}x = \frac{1}{ { \cos}^{2}x } + \frac{1}{ { \sin}^{2}x} \\ = \frac{ { \sin}^{2}x + { \cos }^{2}x}{ { \cos}^{2}x. { \sin}^{2}x} = \frac{1}{ { \cos}^{2}x. { \sin}^{2}x}$

$\frac{1}{ { \cos }^{2}x. { \sin}^{2}x } = \frac{1}{ { \cos}^{2}x} . \frac{1}{ { \sin}^{2}x } \\ = { \sec }^{2}x. { \csc}^{2}x$

Substituindo na expressão anterior temos

$\frac{ { \sec}^{2}x. { \csc}^{2}x }{ \csc(x). \sec(x) } = \sec(x). \csc(x)$

Por outro lado

$\tan(x) + \cot(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x)} + \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) }$

$\frac{ { \sin }^{2}x + { \cos}^{2}x }{ \sin(x). \cos(x) } = \frac{1}{ \sin(x). \cos(x) } \\ = \frac{1}{ \sin(x)} . \frac{1}{ \cos(x) } = \csc(x) . \sec(x)$

Como as expressões são equivalentes, podemos dizer que

$\frac{ \sec(x) }{ \csc(x)} + \frac{ \csc(x) }{ \sec(x) } = \tan(x) + \cot(x)$

e)

$\frac{1 + \cos(x) }{ \sin(x) } + \frac{ \sin(x) }{1 + \cos(x) } \\ = \frac{ {(1 + \cos(x)) }^{2} + { \sin}^{2}x}{ \sin(x)(1 + \cos(x))} )$

$\frac{1 + 2 \cos(x) + { \cos}^{2}x + { \sin}^{2}x}{ \sin(x) (1 + \cos(x)) } \\ \frac{1 +2 \cos(x) + 1}{ \sin(x).(1 + \cos(x))}$

$\frac{2 +2 \cos(x) }{ \sin(x)(1 + \cos(x)} \\ = \frac{2(1 + \cos(x))}{ \sin(x)(1 + \cos(x))} \\ = \frac{2}{ \sin(x) } = 2 \csc(x)$