Question

Demonstre que cada uma das igualdades abaixo é identidade.a) cotg x - cotg x . cos^2 x = sen x . cos xb) cossec ^2 x = 1 + cotg^2 xc) tg x . sec x - sen x = tg^2 x . sen xd) sec^4 x - tg^4 x - 1 = 2 tg^2 x

Answer 1

Olá,
Lembrando a identidade trigonométrica:
(sen x)² + (cos x)² = 1

a)cotg x - (cotg x * (cos x)² = sen x * cos x
Como cotg x = cos x/sen x, multiplicamos os dois lados por sen x para retirar o denominador:
cos x - (cos x * (cos x)²) = (sen x)² * cos x
cos x * [ 1 - (cos x)²] = (sen x)² * cos x
1 - (cos x)² = (sen x)²
(sen x)² + (cos x)² = 1

b) (cossec x)² = 1 + (cotg x)²
Como cossec x = 1/sen x, multiplicamos os dois lados por (sen x²) para retirar o denominador:
1 = (sen x)² + (cos x)²

c) tg x * sec x - sen x = (tg x)² * sen x
Como sec x = 1/cos x, multiplicamos os dois lados por (cos x)² para retirar o denominador:
sen x * 1 - sen x * (cos x)² = (sen x)² * sen x
sen x [ 1 - (cos x)²] = (sen x)² * sen x
1 - (cos x)² = (sen x)²
(sen x)² + (cos x)² = 1

d)(sec x)⁴ - (tg x)⁴ - 1 = 2*(tg x)²
Agora multiplicamos os dois lados por (cos x)⁴ para retirar o denominador:
1 - (sen x)⁴ - (cos x)⁴ = 2*(sen x)²*(cos x)²
(sen x)⁴ + (cos x)⁴ + 2*(sen x)²*(cos x)² = 1
Observe que essa expressão constitui um quadrado perfeito da forma:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
Logo:
[(sen x)² + (cos x)²]² = 1
Tirando a raiz dos dois lados:
(sen x)² + (cos x)² = 1

Espero ter ajudado