Demonstre que "A soma dos 30 primeiros numeros impares é 900" é verdadeira, utilizando a prova por exaustão e a prova postulados e responda qual das duas provas seria mais adequada se o numero aumentasse para os 100 primeiros numeros impares.
Soluções para a tarefa
Resposta: 10000
Explicação passo a passo:
Olá!! bom vamos lá! o que poderíamos fazer é somar os 30 primeiros números que o problema nos deu, como a contagem seria a de números impares teríamos :
(1,3,5,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55,57,59) Somando tudo teríamos que essa soma seria 900.
Ou, podemos utilizar a formula de PA ( que seria o caso se tivéssemos mais números como por exemplo 100 números.
Então teriamos :
Sn=n (a1+an)/2
No caso como temos nosso primeiro e ultimo termo poderíamos colocar diretamente na formula, então ficaríamos com
Sn = 30(1+59)/2 = 900
Já para a PA de 100 primeiros números impares, teríamos a informação de que o primeiro número número seria 1 e que a razão entre os números seria 2, mas através da formula de termo geral tentaremos descobrir qual é o ultimo termo, então teríamos :
an =a1(n-1)r
a100= 1 +(100-1)*2
a100= 199 ( ou seja nosso ultimo termo será 199)
Assim podemos aplicar na outra formula, para conseguirmos descobrir a soma, entao teremos
S100 = 100 ( 1+199) / 2 = 10000
Resposta:
a prova por postulado é mais eficiente, pois partem de princípios inquestionáveis , já a prova por exaustão é demonstrada na prática :
Prova por Exaustão:
(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+ 55+57+59 = 900
Prova por Postulado:
podemos usar a formula da soma de n termos de uma P.A
Sn = (a1 + an)n / 2
temos:
a1 = 1
a30 = 59
Sn = (1 + 59) . 30 / 2
Sn = 60 . 15
Sn = 900
vamos achar o 100° termo
a100 = a1 + (n - 1). r
razão é 2 porque vai aumentando de ímpar em ímpar
a100 = 1 + (100 - 1). r
a100 = 1 + 99 .2
a100 = 1 + 198
a100 = 199
Sn = (a1 + a100).n / 2
Sn = (1 + 199) . 100 / 2
Sn = 200 . 50
Sn = 10000