Question

demonstre que :

a integral de pi é- pi sen(mx)×cos(nx)dx=0

a integral de pi e- pi cos(mx)×cos(nx)={0,pi se m = oi diferente a n se m = n


pede para usar as propriedades, no anexo acima tem junto com a questão.


Alguém mim ajuda por favor!

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Answer 1

Primeiramente, vou demonstrar duas propriedades de integrais trigonométricas em intervalos simétricos em todo no zero.

Considerando k inteiro não-nulo e a um número real não-negativo, calculemos as seguintes integrais abaixo:

    $\displaystyle\int_{-a}^a\mathrm{sen}(kx)\,dx\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{k}\cos(kx)\big|_{-a}^a\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{k}\big[\cos(k\cdot a)-\cos(k\cdot (-a))\big]\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{k}\big[\cos(ka)-\cos(-ka)\big]$

Como o cosseno é uma função par, temos que cos(θ) = cos(− θ), qualquer que seja o ângulo θ. Portanto, cos(ka) = cos(− ka) expressão acima fica

    $=-\,\dfrac{1}{k}\big[\cos(ka)-\cos(ka)\big]\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{k}\cdot 0\\\\\\ =0\\\\\\ \therefore\qquad \displaystyle\int_{-a}^a\mathrm{sen}(kx)\,dx=0\qquad \mathbf{(i)}$

Agora esta outra integral:

    $\displaystyle\int_{-a}^a\cos(kx)\,dx\\\\\\ =\dfrac{1}{k}\,\mathrm{sen}(kx)\Big|_{-a}^a\\\\\\ =\dfrac{1}{k}\Big[\mathrm{sen}(k\cdot a)-\mathrm{sen}(k\cdot (-a))\Big]\\\\\\ =\dfrac{1}{k}\Big[\mathrm{sen}(ka)-\mathrm{sen}(-ka)\Big]$

Como o seno é uma função ímpar, temos que sen(− θ) = − sen(θ), qualquer que seja o ângulo θ. Portanto, sen(− ka) = − sen(ka) expressão acima fica

    $=\dfrac{1}{k}\Big[\mathrm{sen}(ka)+\mathrm{sen}(ka)\Big]\\\\\\ =\dfrac{1}{k}\cdot 2\,\mathrm{sen}(ka)\\\\\\ \therefore\qquad \displaystyle\int_{-a}^a\cos(kx)\,dx=\dfrac{2}{k}\,\mathrm{sen}(ka)\qquad\mathbf{(ii)}$

Se k for nulo, teremos integrais de constantes, já que

    sen(0x) = 0

    cos(0x) = 1

e dessa forma,

    $\displaystyle\int_{-a}^a\mathrm{sen}(0x)\,dx=\int_{-a}^a 0\,dx=0\\\\\\ \int_{-a}^a\cos(0x)\,dx=\int_{-a}^a 1\,dx=a-(-a)=2a$

Sabendo disto, podemos demonstrar o que foi pedido nesta tarefa:

Considerando m, n inteiros positivos,

a)  Mostrar que $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{sen}(mx)\cos(nx)\,dx=0.$

Aplicando a fórmula de transformação trigonométrica de produto em soma, a integral fica

    $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{sen}(mx)\cos(nx)\\\\\\ =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\Big[\mathrm{sen}(mx-nx)+\mathrm{sen}(mx+nx)\Big]\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{sen}\big[(m-n)x\big]\,dx+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{sen}\big[(m+n)x\big]\,dx$

Aplicando a fórmula (i) a cada uma das integrais, a expressão acima fica

    $=\dfrac{1}{2}\cdot 0+\dfrac{1}{2}\cdot 0\\\\\\ =0\qquad \checkmark$

b)  Mostrar que $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mathsf{se~~}m \ne n\\ \pi,&\mathsf{se~~}m=n \end{array}\right.$

Aplicando a fórmula de transformação trigonométrica do produto em soma, a integral fica

    $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx\\\\\\ =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\Big[\cos(mx-nx)+\cos(mx+nx)\Big]\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\!\big[(m-n)x\big]\,dx+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\!\big[(m+n)x\big]\,dx\qquad\mathbf{(iii)}$

Se m ≠ n, aplicando a fórmula (ii), a expressão (iii) acima fica

    $=-\,\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{m-n}\mathrm{sen}\big[(m-n)\pi\big]-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{m+n}\,\mathrm{sen}\big[(m+n)\pi\big]\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{m-n}\mathrm{sen}\big[k_1\pi\big]-\dfrac{1}{m+n}\,\mathrm{sen}\big[k_2\pi\big]\\\\\\ =0\qquad\checkmark$

pois o seno de qualquer múltiplo inteiro de π é 0.

Já se m = n, a integral pedida fica

    $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(mx)\,dx\\\\\\ =\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)\,dx$

Aplicando a identidade para o cosseno do arco duplo

    cos² θ = (1/2) . [ 1 + cos (2θ) ]

ficamos com

    $\displaystyle=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\Big[1+\cos(2mx)\Big]\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 1\,dx+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2mx)\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot (\pi-(-\pi))+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2mx)\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot 2\pi+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2mx)\,dx\\\\\\ =\pi+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2mx)\,dx$

Aplicando a fórmula (ii) à integral, a expressão acima fica

    $=\pi+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{2m}\,\mathrm{sen}(2m\pi)\\\\\\ =\pi+\dfrac{1}{2m}\,\mathrm{sen}(k_3\pi)\\\\\\ =\pi+0\\\\ =\pi\qquad\quad\checkmark$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

poderia me ajudar na integral sen(ax)*cos(bx) sendo q precisa ser feita por partes