Matemática, perguntado por Nefertitii, 7 meses atrás

•Demonstre que a igualdade é verdadeira:
 -  \cotg(x) +  \csc(x) =  \tg \left( \frac{x}{2}  \right) \\


VireiAtrosnauta: usando tgx/2 = ± √(1 - cosx)/(1 + cosx) é facinho, mas a demonstração de tg(x/2) eu não acho tão fácil de demostra sozinho
Nefertitii: sim sim

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
6

Olá, boa noite.

Devemos demonstrar a validade da seguinte igualdade:

-\cotg(x)+\csc(x)=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right).

Lembre-se que esta igualdade está definida para x\neq\pi+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}.

Primeiro, fazemos \cotg(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} e \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}

-\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}+\dfrac{1}{\sin(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)

Some as frações

\dfrac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)

Multiplique o lado esquerdo da igualdade pela fração \dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}

\dfrac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)

Aplique a propriedade do produto da soma pela diferença: (a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2

\dfrac{1-\cos^2(x)}{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)

Utilizamos a identidade fundamental da trigonometria: \sin^2(x)+\cos^2(x)=1, de modo que 1-\cos^2(x)=\sin^2(x)

\dfrac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)

Simplifique a fração por um fator \sin(x)

\dfrac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)

Para demonstrarmos o lado direito, usamos a identidade: \tg(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}

Então, utilize a identidade \cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1, em que \alpha=\dfrac{x}{2} e isole \cos\left(\dfrac{x}{2}\right):

\cos\left(2\cdot\dfrac{x}{2}\right)=2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)-1\\\\\\ 2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\cos(x)+1\\\\\\ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\cos(x)+1}{2}\\\\\\ \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}

Usando \cos^2(x)=1-\sin^2(x), temos:

1-\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1+\cos(x)}{2}\\\\\\ \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=1-\dfrac{1+\cos(x)}{2}\\\\\\ \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1-\cos(x)}{2}\\\\\\ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}

Assim, teremos:

\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}}{\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{1-\cos(x)}}{\sqrt{1+\cos(x)}}

Racionalize o denominador

\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{1-\cos(x)}\cdot\sqrt{1+\cos(x)}}{1+\cos(x)}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{1+\cos(x)}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\sin^2(x)}}{1+\cos(x)}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)+1}~~\checkmark

Então, conclui-se que esta igualdade é válida para todo x que satisfaz a restrição encontrada ao início da solução.


VireiAtrosnauta: tu é o cara Gui
Nefertitii: Muito obrigado (ノ◕ヮ◕)ノ*.✧
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