Question

Demonstre que:
1.
$\frac{1}{ log_{x}(2) } + \frac{1}{ log_{x}(4). log_{x}(8) } + ... + \frac{1}{ log_{x}(2^{k - 1} ) . log_{x}( {2}^{k} ) } = (1 - \frac{1}{k} ). \frac{1}{ log ^{2} _{x}(2) }$
2.
$\cos(8 θ ) = 128 \cos ^{8} (θ) - 256 \cos ^{6} (θ) + 160 \cos ^{4} (θ) - 32 \cos ^{2} (θ) + 1$
3.
$\cos(θ). \cos(2θ) . \cos( {2}^{2}θ )... \cos( {2}^{k} θ) = \frac{ \sin( {2}^{k + 1}θ ) }{ {2}^{n + 1} \sin(θ) }$
​

Answer 1

1.

Eu acho que tem algo faltando nessa questão no primeiro termo, acho que deveria ser:

$\dfrac{1}{\log_{x}(2) \cdot \log_{x}(4)} + \dfrac{1}{\log_{x}(4) \cdot \log_{x}(8)} + \cdot\cdot\cdot+ \dfrac{1}{\log_{x}(2^{k-1}) \cdot \log_{x}(2^k)}$

Porque senão não faz sentido o primeiro termo em relação ao termo k dado.

Bom, sabe-se que: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$,... e assim por diante. Temos uma propriedade dos logaritmos que diz:

$\log_{a}[b^c] = c \cdot \log_{a}[b]$

Assim, reescrevemos a soma como:

$\dfrac{1}{\log_{x}(2) \cdot 2 \cdot \log_{x}(2)} + \dfrac{1}{2 \cdot \log_{x}(2) \cdot 3 \cdot \log_{x}(2)} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{3 \cdot \log_{x}(2) \cdot 4 \cdot \log_{x}(2)} + \cdot\cdot\cdot$

O que resulta em:

$\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot \log^2_{x}(2)} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot \log^2_{x}(2)} + ... + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot \log^2_{x}(2)} +\cdot\cdot\cdot$

Ou seja, o termo: $\dfrac{1}{\log^2_{x}(2)}$ é comum a todos os termos, sendo possível tirá-lo em evidência:

$S_n = \dfrac{1}{\log^2_{x}(2)} \cdot \left(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \cdot\cdot\cdot \right)$

O que nos interessa agora é a soma dentro dos parênteses. Temos algo do tipo:

$\sum_{n=2}^k \dfrac{1}{(n-1) \cdot n}$

Esta é chamada série telescópica. Utilizando o método de frações parciais, pode-se reescrevê-la como uma soma de séries:

$\dfrac{1}{(n-1) \cdot n} = \dfrac{A}{n-1} + \dfrac{B}{n}$

$\dfrac{1}{(n-1) \cdot n} = \dfrac{A \cdot n + B \cdot n - B}{n \cdot (n-1)}$

Assim, temos que:

$\left \{ {{A+B=0} \atop {-B=1}} \right.$

Fica fácil perceber que A=1 e B = -1. Ou seja:

$\sum_{n=2}^k \dfrac{1}{(n-1) \cdot n} = \sum_{n=2}^k \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}$

e:

$\sum_{n=2}^k \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n} = 1-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}+ \cdot \cdot \cdot -\dfrac{1}{k}$

Note que os termos vão se anulando aos pares, com excessão do primeiro e do último, assim:

$\sum_{n=2}^k \dfrac{1}{(n-1) \cdot n} = 1 - \dfrac{1}{k}$

E a soma inicial se resume a:

$\boxed{S_n = \left( 1 - \dfrac{1}{k}\right) \cdot \dfrac{1}{\log^2_{x}(2)}}$

2.

Aqui começamos pela expressão à esquerda da igualdade. Tem uma propriedade matemática (cosseno da soma de arcos) que diz:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) - sen(\alpha) \cdot sen(\beta)$

Quando os arcos são iguais: $\alpha = \beta$:

$cos(2\cdot \alpha) = cos(\alpha + \alpha) = cos(\alpha) \cdot cos(\alpha) - sen(\alpha) \cdot sen(\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$

Agora, lembre que:

$cos^2(\alpha) + sen^2(\alpha) = 1$

Ou seja:

$sen^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)$

Assim:

$cos(2\cdot \alpha) =cos^2(\alpha) - 1 +cos^2(\alpha) = 2 \cdot cos^2(\alpha)-1$

Eu não reconheço este símbolo que usou para a variável, mas vou chamar de x, não muda nada:

$cos(8 \cdot x) = cos(2 \cdot 4 \cdot x) = 2 \cdot cos^2(4 \cdot x)-1$

Por sua vez:

$cos(4 \cdot x) = cos(2 \cdot 2 \cdot x) = 2 \cdot cos^2(2 \cdot x)-1$

E:

$cos(2 \cdot x) = cos(2 \cdot x) = 2 \cdot cos^2(x)-1$

Na primeira expressão, vou substituir o cosseno de 4x pelo seu equivalente:

$cos(8 \cdot x) = 2 \cdot [2 \cdot cos^2(2 \cdot x)-1]^2-1$

Agora substituo o cosseno de 2x pelo seu equivalente:

$cos(8 \cdot x) = 2 \cdot \{2 \cdot [2 \cdot cos^2(x)-1]^2-1\}^2-1$

Agora, começando expandindo de dentro para fora:

$[2 \cdot cos^2(x)-1]^2 = 4 \cdot cos^4(x)-4 \cdot cos^2(x) + 1$

Logo:

$cos(8 \cdot x) = 2 \cdot \{2 \cdot [4 \cdot cos^4(x)-4 \cdot cos^2(x) + 1]-1\}^2-1$

$cos(8 \cdot x) = 2 \cdot \[8 \cdot cos^4(x)-8 \cdot cos^2(x) + 2-1\]^2-1$

$cos(8 \cdot x) = 2 \cdot [8 \cdot cos^4(x)-8 \cdot cos^2(x) + 1]^2-1$

Expandindo o quadrado:

$[8 \cdot cos^4(x)-8 \cdot cos^2(x) + 1]^2 = 64 \cdot cos^8(x) - 128 \cdot cos^6(x) + 80 \cdot cos^4(x) - 16 \cdot cos^2(x) + 1$

Logo:

$cos(8 \cdot x) = 2 \cdot [64 \cdot cos^8(x) - 128 \cdot cos^6(x) + 80 \cdot cos^4(x) - 16 \cdot cos^2(x) + 1]-1$

$cos(8 \cdot x) = 128 \cdot cos^8(x) - 256 \cdot cos^6(x) + 160 \cdot cos^4(x) - 32 \cdot cos^2(x) + 2-1$

$\boxed{cos(8 \cdot x) = 128 \cdot cos^8(x) - 256 \cdot cos^6(x) + 160 \cdot cos^4(x) - 32 \cdot cos^2(x) + 1}$

*** Obs.: Como a resposta ficou muito longa, precisei colocar a solução da 3 nas figuras em anexo