Question

Demonstre que 1.2+2.3+3.4+...+(n-1).n=1/3n(n-1)(n+1)
para n_>1?
sugestão: use o teorema das colunas

Answer 1

Não conheço o Teorema das Colunas. Utilizarei aqui a indução matemática simples. Basicamente, faremos o seguinte:


$\bullet\;\;$ Mostramos que o a fórmula é válida para $n=1$

$\bullet\;\;$ Supomos por indução que a fórmula é válida para $n=k$, onde $k >1$. A partir desta hipótese, basta provar que a fórmula também é válida para $n=k+1$:


Então, temos o seguinte. Provar que

$\underset{p=1}{\overset{n}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right ]=\dfrac{1}{3}\cdot n\left(n-1 \right )\left(n+1 \right )$


$\bullet\;\;$ Para $n=1$, verificamos que

$\underset{p=1}{\overset{1}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right ]=\left(1-1 \right )\cdot 1\\ \\ =0\\ \\ =\dfrac{1}{3}\cdot 1\left(1-1 \right )\left(1+1 \right )$

Logo, a fórmula é válida para $n=1$.


$\bullet\;\;$ Suponhamos, por hipótese de indução, que a fórmula é válida para $n=k$, ou seja, é válido que

$\underset{p=1}{\overset{k}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]=\dfrac{1}{3}\cdot k\left(k-1 \right )\left(k+1 \right )$


A partir da hipótese acima, desejamos provar que a fórmula é válida para $n=k+1$, ou seja, provar que

$\underset{p=1}{\overset{k+1}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]=\dfrac{1}{3}\cdot \left(k+1 \right )\left[\left(k+1 \right )-1 \right ]\left[\left(k+1 \right )+1 \right]\\ \\ \\ \boxed{\underset{p=1}{\overset{k+1}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]=\dfrac{1}{3}\cdot \left(k+1 \right )k\left(k+2 \right )}$


Então, temos que

$\underset{p=1}{\overset{k+1}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]\\ \\ =\underset{p=1}{\overset{k}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]+\left[\left(k+1 \right )-1 \right ]\cdot \left(k+1 \right )\\ \\ =\underset{p=1}{\overset{k}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]+k\left(k+1 \right )$


Pela hipótese de indução, podemos substituir o somatório da igualdade acima (passo indutivo). Substituindo, temos

$\underset{p=1}{\overset{k}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]+k\left(k+1 \right )\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\cdot k\left(k-1 \right )\left(k+1 \right )+k\left(k+1 \right )$


Colocando o fator comum $k\left(k+1\right)$ em evidência, temos

$=\dfrac{1}{3}\cdot k\left(k-1 \right )\left(k+1 \right )+k\left(k+1 \right )\\ \\ =k\left(k+1 \right )\cdot \left[\dfrac{1}{3}\cdot \left(k-1 \right )+1 \right ]\\ \\ =k\left(k+1 \right )\cdot \left[\dfrac{\left(k-1 \right )+3}{3} \right ] \\ \\=k\left(k+1 \right )\cdot \left[\dfrac{k+2}{3} \right ]\\ \\ =\dfrac{1}{3}\cdot \left(k+1 \right )k\left(k+2 \right )$

como queríamos demonstrar.


Assim, fica provado que

$\boxed{\underset{p=1}{\overset{n}{\sum}}\left[\left(p-1 \right )\cdot p \right]=\dfrac{1}{3}\cdot n\left(n-1 \right )\left(n+1 \right )}$