Question

Demonstre por indução:

$2 \: . \: 2 + 4 \: . \: 3 + ... + 2n \: . \: (n + 1) = \frac{2n(n + 1)(n + 2)}{3}$

para n ≥ 1
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Passo base:

Para  N = 1 teremos  (2 * 1 ( 1 + 1) ( 1 + 2)) / 3

Que é igual a :

(2 (2)(3)) / 3

(4 (3)) / 3

12/3

4

O passo base é verdadeiro  4 ≥ 1

Passo indutivo:

Se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1 então deve ser verdadeira para n = k+1

-Hipótese indutiva:

(2k(k+1)(k+2)) / 3

- Deve-se mostrar que:

(2(k+1) ( k + 2) ( k +3)) / 3

-Sabe-se que:

2.2 + 4.3+ ... +2k . (k+1) + 2(k+1).(k+2) =  (2k(k+1)(k+2) + 3* 2(k+1).(k+2))  / 3

                                                             = (2k(k+1)(k+2) + 6(k+1)(k+2)) /3

                                                             = 2k(k+1)(k+2) + 6 ( k² + 3k + 2) /3

                                                             = 2k(k+1)(k+2) + 6k² + 18k + 12 /3

                                                             = 2((k+1) (k+2) ( k+ 3)) / 3