Question

Demonstre por indução para todo n >_1 que 1³+2³+...+n³=[n(n+1)/2]²

Answer 1

${1}^{3} + {2}^{3} + ... + {n}^{3} = (n( \frac{n + 1}{2}))^{2}$

Para n = 1

${1}^{3} = (1( \frac{1 + 1}{2}))^{2} = 1 = 1$

Verifiquemos que para n = 1, a igualdade é verdadeira.

Admitamos que n = k, seja verdadeira(hipótese da indução).

${1}^{3} + {2}^{3} + ... + {k}^{3} = (k( \frac{k + 1}{2}))^{2}$

E provemos que decorre a validade para n = k + 1.

${1}^{3} + {2}^{2} + ... + {k}^{3} + {(k + 1)}^{3} =( (k + 1)( \frac{k + 1 + 1}{2} ))^{2}$

Temos:

$(k( \frac{k + 1}{2} ))^{2} + {(k + 1)}^{3} = ((k + 1)( \frac{k + 1 + 1}{2} )^{2}$

Resolvendo primeiramente o lado esquerdo da equação:

$( \frac{ {k}^{2} + k}{2})^{2} + {k}^{3} + 3 {k}^{2} + 3k + 1$

$\frac{ {k}^{4} + 2 {k}^{3} + {k}^{2} }{4} + \frac{4( {k}^{3} + 3 {k}^{2} + 3k + 1) }{4}$

$\frac{ {k}^{4} + 2 {k}^{3} + {k}^{2} + 4 {k}^{3} + 12 {k}^{2} + 12k + 4 }{4}$

$\frac{ {k}^{4} + 6 {k}^{3} + 13 {k}^{2} + 12k + 4 }{4}$

Agora, resolveremos o lado direito da equação e verificar se a igualdade se mantém.

$((k + 1)( \frac{k + 2}{2} ))^{2}$

$( \frac{ {k}^{2} + 3k + 2 }{2} )^{2}$

$\frac{ {k}^{4} + 9 {k}^{2} + 4 + 6 {k}^{3} + 4 {k}^{2} + 12k }{4}$

$\frac{ {k}^{4} + 6 {k}^{3} + 13 {k}^{2} + 12k + 4 }{4}$

Igualando:

$\frac{ {k}^{4} + 6 {k}^{3} + 13 {k}^{2} + 12k + 4 }{ 4 } = \frac{ {k}^{4} + 6 {k}^{3} + 13 {k}^{2} + 12k + 4 }{4}$

A igualdade se mantém, portanto, está demonstrado.