Question

Demonstre por “indução matemática” que a soma dos n primeiros números naturais é igual a divisão por 2 do produto de n com n+1.

Answer 1

Teorema: a soma dos n primeiros inteiros positivos é

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}}}}}}$

Demonstração:

l) para n=1,temos:

$\mathsf{1=\dfrac{1.(1+1)}{2}}$

(sentença verdadeira)

ll) admitamos a validade da fórmula para n.

$\mathsf{1+2+3+...n=\dfrac{n(n+1)}{2}}$

Se provarmos que a fórmula vale para n+1, então valerá para todo n. isto é

$\mathsf{S_{n}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}}$

$\sf{1+2+3+...n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+n+1}\\\sf{\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=} \\\rm colocando~n+1~em~evid\hat encia~temos:\\\mathsf{ \boxed{\boxed{\boxed{\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}}}} q\bullet e\bullet d}$

Answer 2

✅ Após ter concluído a demonstração, concluímos que a soma dos "n" primeiros números naturais, de fato é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 1 + 2 + 3 + \:\cdots\:+ n = \frac{n(n + 1)}{2},\:\:\:\forall n\in\mathbb{N} \:\:\:}}\end{gathered} }$

Se a soma "S(n)" dos "n" primeiros números naturais é  igual à metade do produto entre número "n" e o seu sucessor "n + 1", ou seja:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 2 + 3 + \:\cdots\: + n = \frac{n(n + 1)}{2},\:\:\:\forall n\in\mathbb{N} \end{gathered}$

Para demonstrar isto utilizando a técnica de indução, devemos executar três etapas necessárias, que são:

         $\Large\begin{cases}\bf1^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:a\:base\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf2^{\underline{o}}\:\:\:Elaborar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf3^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\end{cases}$

• Provando a base de indução:

        Se:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = 1 \end{gathered}$

        Temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}1 = \frac{1\cdot(1 + 1)}{2} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}1 = \frac{1\cdot{\!\diagup\!\!\!\!2}}{\!\diagup\!\!\!\!2} \end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}1 = 1\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1)\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

         Logo, a base de indução é verdadeira;

• Hipótese de indução:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k) = 1 + 2 + 3 + \:\cdots\:+k= \frac{k(k + 1)}{2} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k)\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$  

Sendo a base de indução verdadeira, e com uma hipótese formulada, devemos demonstrar que a hipótese de indução também é verdadeira.

• Provando a hipótese de indução:

        Assumindo que:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro\end{gathered}$

         Devemos provar que:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

         Então, temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1) = \underbrace{1 + 2 + 3 + \:\cdots\:+ k }_{\bf S(k)} +\: k + 1 \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1\end{gathered}$

        Tirando o "MMC" dos denominadores, temos:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} \end{gathered}$

         Colocando o termo "k + 1" em evidência, temos:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{(k + 1)\cdot(k + 2)}{2} \end{gathered}$

         Escrevendo o termo "k + 2" como sendo o termo "k + 1" acrescido da unidade, temos:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{(k + 1)\cdot[(k + 1) + 1]}{2} \end{gathered}$

         Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1) = \frac{(k + 1)\cdot[(k + 1) + 1]}{2} \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

De fato temos:

• n = 1

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 = 1\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore S(1) = \frac{1\cdot(1 + 1)}{2} = \frac{1\cdot2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{gathered}$

• n = 2

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}1 + 2 = 3 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore S(2) = \frac{2\cdot(2 + 1)}{2} = \frac{2\cdot3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \end{gathered}$

• n = 3

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 2 + 3 = 6\end{gathered}$  

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore S(3) = \frac{3\cdot(3 + 1)}{2} = \frac{3\cdot4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \end{gathered}$

     

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/51130814
2. https://brainly.com.br/tarefa/24755810
3. https://brainly.com.br/tarefa/8941770
4. https://brainly.com.br/tarefa/51096990
5. https://brainly.com.br/tarefa/24755810
6. https://brainly.com.br/tarefa/28317396