Question

demonstre, por indução finita, que 7^(elevado)n - 4^(elevado)n é um múltiplo de 3, para todo numero natural n > 0.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos lembrar de duas propriedades dos restos:

• A soma dos restos é o resto da soma;

• O produto dos restos é o produto da soma;

Também precisamos lembrar que para ser múltiplo de 3, um número só precisa deixar resto 0 na divisão por 3.

Verificamos para n=1:

$7^1 - 4^1 = 3\\3~|~ 7^1 -4^1$

Veja que o resto da divisão de 7 por 3 é 1;

O mesmo para 4.

Por isso, quando subtraímos os restos, temos um resto total de 0.

Quando n=k, sendo k um número qualquer, temos que o resto de $7^k$ é igual ao resto de 7 elevado a k, ou seja: $1^k =1$.

A mesma coisa para o 4, o resto de $4^k$ é 1.

Subtraíndo os restos 1-1 = 0

Ou seja, o resto dessa divisão por 3 sempre será 0, então sempre será múltiplo de 3.