Matemática, perguntado por Mary8, 1 ano atrás

Demonstre por indução:


a)  1+2+...+ n = n(n+1)/2      (n>
igual a 1)



b) 
1+3+5+...+(2n – 1) = n²     (n>
igual a 1)



c)  1³ + 2³+...+ n³ = (1 +2 +...+ n)²   (n> igual a 1)
d)  1*2 +2 *3 +...+ n * (n + 1 ) = n (n + 1) (n + 2
)/3   (n> igual a 1)


e)    
e)    n²
> n + 1     (n> igual a 2)






Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
2
a) 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

A base é n=2:

1+2=\dfrac{2(2+1)}{2}

3=\dfrac{2\cdot3}{2}

A base está correta.

Pela hipótese, 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Vamos provar o passo indutivo,

1+2+3+\dots+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Como 1+2+3+\dots+(n+1)=\dfrac{n(n+1)}{2}, temos

\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

O que é verdade. A indução está completa.

b) 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2

A base é n=2,

1+3=2^2

1+3=4

A base está correta.

Vamos provar o passo indutivo:

1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)^2

Mas, 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2, logo

n^2+2n+1=(n+1)^2

O que é verdade, a indução está completa.


c) 1^3+2^3+\dots+n^3=\dfrac{[n(n+1)]^2}{4}

Substitua n por n+1:

1^3+2^3+\dots+n^3+(n+1)^3=\dfrac{[(n+1)(n+2)]^2}{4}

\dfrac{[n(n+1)]^2}{4}+(n+1)^3=\dfrac{[(n+1)(n+2)]^2}{4}

\dfrac{(n^2+n)^2}{4}+n^3+3n^2+3n+1=\dfrac{(n^2+3n+2)^2}{4}

\dfrac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\dfrac{n^4+9n^2+4+6n^3+4n^2+12n}{4}

O que é verdade, a indução está completa.


d) 1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}

Substituindo n por n+1, temos

1\cdot2+2\cdot3+\dots+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

\dfrac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

O que é verdade, a indução está completa.

e) n^2>n+1

A base é n=3

3^2>3+1

9>4

A base está correta.

Vamos provar o passo indutivo:

(n+1)^2>n+2

n^2+2n+1>n+2

Subtraindo n+2 de ambos os membros

n^2+n-1>0

O que é verdade, a indução está completa.

Espero ter ajudado ^^


Mary8: Não entendi nada sobre o procedimento
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