Question

Demonstre por indução:


a)  1+2+...+ n = n(n+1)/2      (n>
igual a 1)


b)  1+3+5+...+(2n – 1) = n²     (n>
igual a 1)


c)  1³ + 2³+...+ n³ = (1 +2 +...+ n)²   (n> igual a 1)
d)  1*2 +2 *3 +...+ n * (n + 1 ) = n (n + 1) (n + 2
)/3   (n> igual a 1)

e)    
e)    n²
> n + 1     (n> igual a 2)

Answer 1

a) $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

A base é $n=2$:

$1+2=\dfrac{2(2+1)}{2}$

$3=\dfrac{2\cdot3}{2}$

A base está correta.

Pela hipótese, $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Vamos provar o passo indutivo,

$1+2+3+\dots+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

Como $1+2+3+\dots+(n+1)=\dfrac{n(n+1)}{2}$, temos

$\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

$\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

O que é verdade. A indução está completa.

b) $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$

A base é $n=2$,

$1+3=2^2$

$1+3=4$

A base está correta.

Vamos provar o passo indutivo:

$1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)^2$

Mas, $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$, logo

$n^2+2n+1=(n+1)^2$

O que é verdade, a indução está completa.


c) $1^3+2^3+\dots+n^3=\dfrac{[n(n+1)]^2}{4}$

Substitua $n$ por $n+1$:

$1^3+2^3+\dots+n^3+(n+1)^3=\dfrac{[(n+1)(n+2)]^2}{4}$

$\dfrac{[n(n+1)]^2}{4}+(n+1)^3=\dfrac{[(n+1)(n+2)]^2}{4}$

$\dfrac{(n^2+n)^2}{4}+n^3+3n^2+3n+1=\dfrac{(n^2+3n+2)^2}{4}$

$\dfrac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\dfrac{n^4+9n^2+4+6n^3+4n^2+12n}{4}$

O que é verdade, a indução está completa.


d) $1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Substituindo $n$ por $n+1$, temos

$1\cdot2+2\cdot3+\dots+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

$\dfrac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

O que é verdade, a indução está completa.

e) $n^2>n+1$

A base é $n=3$

$3^2>3+1$

$9>4$

A base está correta.

Vamos provar o passo indutivo:

$(n+1)^2>n+2$

$n^2+2n+1>n+2$

Subtraindo $n+2$ de ambos os membros

$n^2+n-1>0$

O que é verdade, a indução está completa.

Espero ter ajudado ^^