Question

Demonstre essa proposição usando princípio de indução: 1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1), para n maior igual que 1.​

Answer 1

vamos lá.

seja p(n) a proposição

1+5+9+...+(4n+3)=n.(2n+1)

para p (1)= 4.1-3=1=1.(2.1-1)

então p (1) é verdadeiro.

suponha que seja verdade para n ou seja p (n)= 1+5+9+...(4n-3)=n (2n-1)

devemos mostrar que vale para

p(n+1) ou seja

1+5+9+...+(4n-3)+4(n+1)-3=(n+1)(2n+1).

Demonstração:

Com efeito, 1+5+9+...+(4n-3)+4 (n+1)-3= n (2n-1)+4n+4-3

=2n²-n+4n+1=2n²+3n+1

=2 (n+1/2)(n+1)=(2n+1)(n+1)

=(n+1)(2n+1)=p(n+1)

∎