Question

DEMONSTRE:


Considerando a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

1) loga(b.c) = loga(b) + loga(c)

2) loga(b/c) = loga(b) − loga(c)

3) loga(b^c)= c loga(b)

Answer 1

Prova:
Lembre que y = loga(b) ⇔ b = a^y , onde a > 0, a$\neq$ 1, b > 0.
Denote por y = loga(b); z = loga(c). Como  b = a^y  e c = a^z

1) Então loga(b.c) = loga ($a^{y}$.$a^{z}$) = loga($a^{y+z}$)
sendo  d=a^{y+z} ⇔ y +z= loga(d), daí

loga(b.c)=loga($a^{y+z}$)=y+z= loga(b) + loga(c).

2) loga(b/c)=loga(a^y/a^z)= loga($a^{y-z}$),

sendo d=a^{y-z} ⇔ y -z= loga(d),

loga(b/c)=loga($a^{y-z}$)= y-z = loga(b) + loga(c).

3)  segue de 1) se c é um inteiro. Caso c racional, segue de argumentos análogos aos itens anteriores. Caso c seja irracional, tome por definição a propriedade.

Answer 2

Use a definição y = loga(b) ⇔ b = a^y , onde a > 0, a 1, b > 0.