Question

Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
.....
tg2 x . cossec2 x = 1 + tg2 x , para cos2 x ≠ 0 e sen2 x ≠ 0

Me ajudem, por favor.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Demonstrar a identidade trigonométrica:

     tg² x · cossec² x = 1 + tg² x

para cos x ≠ 0 e sen x ≠ 0.

Demonstração:

Reescreva o lado direito, aplicando as definições de tangente e cossecante. Lembrando que

     $\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\quad\mathrm{e}\quad\mathrm{cossec\,}x=\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}$

Portanto, temos

     $\begin{array}{l}\mathrm{tg^2\,}x\cdot \mathrm{cossec^2\,}x\\\\ =\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^2\cdot \Big(\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}\Big)^2\\\\ =\dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen^2\,}x}\\\\ =\dfrac{1}{\cos^2 x}\end{array}$

Reescreva o numerador $1=\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x,$ que é a relação trigonométrica fundamental, e a expressão acima fica

     $\begin{array}{l}=\dfrac{\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}\\\\ =\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}+\dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}\\\\ =1+\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^2\\\\ =1+\mathrm{tg^2\,}x\qquad\quad\blacksquare\end{array}$

como queríamos.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)